Частный случай вращающейся системы

Законы сохранения главного момента количеств движения

Кинетический момент вращающегося тела

Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси z.

Определим. Возьмем точку К на расстоянии h_К от оси. Она будет иметь скорость, равную V_К =w h_К, где w – угловая скорость тела. Тогда.

Для всего тела.

Т.к., то.

Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела.

Если система состоит из нескольких тел, вращающихся вокруг одной оси, то.

Теорема об изменении главного момента количеств движения механической системы (теорема моментов)

Теорема. Производная по времени от главного момента количеств движения системы относительно некоторого неподвижного центра равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра.

Как было доказано для любой точки системы,

,

где и – моменты внешних и внутренних сил. Составим такие уравнения для всех точек и, складывая их почленно, получим:

.

Т. к., то.

Проецируя уравнение на координатные оси, получим:

,

,

.

Сказанное в последних двух лекциях широко используется при решении задач. Если за полюс выбрать центр масс, то поступательная часть движения может быть изучена с помощью теорем о движении центра масс или об изменении количества движения, а вращательная – с помощью теоремы моментов.

Для осей, движущихся поступательно вместе с центром масс, теорема сохраняет тот же вид, что и относительно неподвижного центра:

.

Из теоремы можно получить два следствия:

1. Если сумма моментов всех действующих внешних сил относительно данного центра равна нулю, то главный МКД относительно этого центра есть величина постоянная по модулю и направлению:

.

2. Если сумма моментов всех действующих на систему внешних сил относительно какой-нибудь оси равна нулю, то главный МКД системы относительно этой оси будет величиной постоянной:

.

Это и есть законы сохранения главного МКД, т.е. внутренние силы изменить главный МКД не могут.

Пусть система вращается относительно оси, проходящей через центр масс, тогда. Если в этом случае, то.

Отсюда следуют два вывода:

а) если тело абсолютно твердое (J_z = const), то и w = const (неизменяемая система);

б) если система является изменяемой, то при увеличении момента инерции J_z угловая скорость w будет уменьшаться, и наоборот (например, фигуристы в волчке, гимнасты при исполнении сальто, раскачивание качели и т.п.).

Лекция 12
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Работа и мощность. Потенциальная энергия. Кинетическая энергия

Для характеристики действия, оказываемого силой на тело при его перемещении, существует понятие о работе силы. Элементарной работой силы F, приложенной в точке М, называется скалярная величина dA = F_t·dS,

где F _t – проекция силы на касательную к траектории (направление скорости): F _t = F cos a,

тогда dA = F · ds cos a.

При остром угле a работа положительна (сила помогает движению); если a – тупой, работа отрицательна (мешает движению); при a = 90° работа равна нулю (не влияет на движение).

Если учесть, что dS =, где – вектор элементарного перемещения точки, то элементарная работа равна скалярному произведению двух векторов:

.

Элементарная работа силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор элементарного перемещения точки её приложения.

Т.к. r_x = x, r_y = y, r_z = z, то аналитическое выражение работы:

.

Работа на любом перемещении – это предел интегрируемой суммы:

,

.

В этих выражениях интеграл вычисляется вдоль кривой М ₀, М ₁.

Если величина, то.

Единица измерения работы – 1 Джоуль = 1 Н×м.

Дата добавления: 2014-01-07