Частные случаи определения мгновенного центра скоростей

Мгновенный центр скоростей

Теорема о проекциях скоростей двух точек тела

Определение скоростей точек твердого тела

Пусть оси движутся вместе с точкой A, оставаясь параллельными осям xOy. Тогда положение точки M будет определяться радиус-вектором:

,

где.

Тогда скорость точки определяется выражением

.

В полученном равенстве – скорость полюса A, – скорость, которую точка M получает при, то есть при вращении плоской фигуры относительно точки (полюса):

.

При этом, где – угловая скорость фигуры.

Теорема. Скорость любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и скорости, которую точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса.

Модуль и направление скорости находятся путём построения параллелограмма.

Проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу, то есть.

Доказательство. Разложим скорость на две составляющие в соответствии с равенством. Проецируя обе части равенства на ось, проходящую через точки и, получим

или

Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Если тело движется непоступательно, то такая точка существует и при этом является единственной.

Пусть в момент времени t скорости точек А и В плоской фигуры будут не параллельны, тогда точка Р будет мгновенным центром скоростей, так как по теореме о проекциях должна проецироваться в ноль на отрезки АР и РВ одновременно. Это возможно, если. Если за полюс взять точку Р, то, так как.

Скорости точек плоской фигуры в данный момент времени определяются так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра скоростей:

,

,

.

Скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей.

Выводы:

1. Для определения мгновенного центра скоростей достаточно знать только направления скоростей и каких-нибудь двух точек А и В плоской фигуры.

2. Для определения скорости любой точки плоской фигуры необходимо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки А фигуры и направление скорости другой ее точки В.

3. Угловая скорость плоской фигуры равна в каждый данный момент времени отношению скорости какой-нибудь точки фигуры к ее расстоянию до мгновенного центра скоростей Р.

а) если движение осуществляется путем качения (без скольжения) одного цилиндрического тела по поверхности другого неподвижного тела, то точка Р катящегося тела, касающаяся неподвижного тела, имеет скорость и, следовательно, является мгновенным центром скоростей;

б) если скорости точек А и В параллельны друг другу, причем линия AB не перпендикулярна векторам скоростей, то мгновенный центр скоростей находится в бесконечности, а движение в данный момент времени поступательное;

в) если скорости точек А и В параллельны друг другу, и при этом АВ перпендикулярна векторам скоростей, то мгновенный центр скоростей Р определяется построением, показанным на рисунке;

г) если известны вектор скорости точки А и угловая скорость тела, то положение мгновенного центра скоростей Р, лежащего на перпендикуляре к вектору скорости точки А, можно найти из равенства

.

При движении плоской фигуры мгновенный центр скоростей непрерывно изменяет свое положение как на неподвижной плоскости, так и на подвижной, связанной с плоской фигурой. Геометрическое место мгновенного центра скоростей на неподвижной плоскости называют неподвижной центроидой, а на плоской фигуре – подвижной центроидой.

Дата добавления: 2014-01-07