Момент инерции тела относительно параллельных осей

Круглая однородная пластина (диск).

Моменты инерции некоторых тел

Момент инерции тела относительно оси, радиус инерции

Осевой момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении и играет такую же роль, как масса при поступательном движении. Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний до этой оси:

.

Размерность момента инерции в системе СИ –.

Величину можно выразить через координаты точек х_k, у_k, z_k, например:, тогда.

Аналогично,

;

. (3)

При практических расчетах также пользуются линейной величиной, называемой радиусом инерции и обозначаемой i.

Представим выражение для момента инерции в виде:

,

где М – масса тела.

Тогда радиус инерции – это расстояние от оси до той точки, в которой нужно сосредоточить массу тела, чтобы момент инерции этой точки был равен моменту инерции всего тела.

Рассматривая формулы (3), с учетом того, что dm = rdV, где r – плотность, V – объем, получим:

1. Тонкий однородный стержень длиной l и массой М.

Найдем момент инерции относительно оси Az.

Для любого отрезка dx величина h = x, а масса, где r = M / l – масса единицы длины стержня.

.

Подставляя значение r, получим.

2. Тонкое круглое однородное кольцо радиусом R и массой М.

Все точки кольца равноудалены от его центра C, следовательно:

.

Таким образом,.

Таким же будет результат и для цилиндрической оболочки.

Выделим элементарное кольцо радиусом r, шириной dr. Площадь кольца S = 2 p∙r∙dr., где, тогда.

Интегрируя, получим

.

Подставив значение r, получим.

Теорема Гюйгенса. Моменты инерции данного тела относительно разных осей будут, в общем случае, разными. Зная J_С относительно одной оси, можно найти J_О относительно другой, ей параллельной.

Проведем оси через центр масс С и оси x, y, z, параллельные осям, через произвольную точку O, лежащую на оси.

Пользуясь формулами (3), запишем:

.

Из рисунка видно, что

.

Тогда

,

;;.

Т.к. точка С является центром тяжести, то

Следовательно, третья сумма равна нулю, тогда

.

Итак, теорема Гюйгенса формулируется следующим образом: момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно центральной оси, ей параллельной, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.

Очевидно, что, следовательно, момент инерции тела, относительно оси, проходящей через центр масс, будет наименьшим для всех осей данного направления.

Лекция 10
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Количество движения точки и механической системы и
его вычисление через скорость центра масс.
Теоремы об изменении количества движения точки и системы

Количеством движения материальной точки называется векторная величина, равная произведению массы точки на вектор ее скорости.

Единица измерения – кг·м / с или Н · с.

Элементарным импульсом силы называется векторная величина, равная произведению вектора силы на элементарный промежуток времени:

Þ

Импульс силы за некоторый промежуток времени t ₁ равен определенному интегралу от элементарного импульса, взятому в пределах от 0 до t ₁. Если сила F постоянна по модулю и направлению, то. В общем случае модуль может быть вычислен по его проекциям на координатные оси:

;;.

Единица измерения [ s ] – Н×с = кг·м·с / с ² = кг·м / с.

По второму закону Ньютона,

,

а т.к., то.

Таким образом, теорема об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме формулируется в следующем виде: производная по времени от количества движения точки равна сумме действующих на нее сил.

Умножим обе части равенства на dt и проинтегрируем:

или

.

Теорема об изменении количества движения материальной точки в интегральной форме: изменение количества движения за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.

Количеством движения механической системы называется векторная величина, равная геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех точек системы:

.

Радиус-вектор центра масс:

или

.

Продифференцируем левую и правую части этого уравнения по времени:

.

Следовательно,.

Количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс.

Очевидно, что при V_C = 0, Q = 0, например, при вращении тела относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Если движение тела сложное или плоскопараллельное, то количество движения Q не зависит от вращательного движения вокруг центра масс (например, колесо катится по рельсу). Количество движения – характеристика поступательного движения тела, а при сложном движении – характеристика поступательной части движения вместе с центром масс.

Рассмотрим систему из n материальных точек. Составим уравнения движения для каждой точки и сложим их:

.

Т.к. (свойство внутренних сил), то

. (1)

Производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.

В проекциях на оси координат выражение (1) записывается в виде:

,,.

Разделив переменные и взяв интеграл, получим запись теоремы об изменении количества движения в конечной форме:

или

. (2)

В проекциях на координатные оси выражение (2) записывается в виде:

При решении задач о движении твердого тела удобнее пользоваться теоремой о движении центра масс. Однако в задачах с газами, жидкостью, реактивным движением и ударом целесообразнее пользоваться теоремой об изменении количества движения.

Дата добавления: 2014-01-07