Элементарные свойства пределов

1. Предел единственен.

Доказательство. Пусть и . Для найдем такое, что при и найдем такое, что при . Тогда при получим . Из произвольности получаем: расстояние между числами и может быть сделано сколь угодно малым. Это означает, что .

2. Пусть . Если , то . (Теорема о двух полицейских).

Доказательство. Для найдем такое, что при и найдем такое, что при . Тогда при получим неравенства . Следовательно, при справедливо , что обеспечивает неравенство .

Пример применения. Покажем, что . Обозначим . Имеем . В соответствии с формулой бинома

.

Следовательно, или . Из соотношения , применяя теорему о двух полицейских, получим , откуда следует .

Дата добавления: 2014-01-07