Примеры решения задач. 4.3.1. Производится опрос, связанный с планами улучшения обслуживания населения зрелищными мероприятиями

4.3.1. Производится опрос, связанный с планами улучшения обслуживания населения зрелищными мероприятиями. Каждому из ста опрашиваемых задаются два вопроса: Регулярно ли вы посещаете кинотеатры? Регулярно ли вы смотрите телевизионные передачи?

Оказалось, что 40 % опрошенных регулярно посещают кинотеатры и смотрят телевизионные передачи; 20 % посещают кинотеатры, но телевизор не смотрят; 30 % не ходят в кино, но смотрят телевизионные передачи; 10 % не ходят в кино и не смотрят телевизор. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный респондент а) регулярно ходит в кино; б) регулярно посещает кино или смотрит телевизор; в) не ходит в кино или не смотрит телевизор?

Решение. Пространство элементарных исходов W состоит из четырех исходов, W = { КТ, T, K, }, где буквами KT, например, обозначен исход, означающий, что наудачу выбранный человек посещает кинотеатры и смотрит телевизор, а сочетание означает, что опрошенный не делает ни того, ни другого.

Из условия задачи находим вероятности элементарных исходов: р { КТ } = 0,4; р { Т } = 0,3; p { К } = 0,2; р { }= 0,1. Конечно, сумма всех вероятностей равна 1. Пусть событие A = {респондент ходит в кино}, B = = {респондент смотрит телевизор}. Событию A благоприятствуют два исхода: A = { КТ, K }. Событию B тоже благоприятствуют два исхода: B = ={ КТ, T }. Вероятность события A равна сумме вероятностей входящих в него элементарных исходов: p (A) = 0,4 + 0,2 = 0,6. Тогда p () = 1 - 0,6 = = 0,4. Аналогично p (B) = 0,4 + 0,3 = 0,7; p () = 1 - 0,7 = 0,3.

Нужно найти вероятность события A + В. Это можно сделать «в лоб» – событие A + B – это множество { КT, T, }, поэтому p (A + В) = 0,4 + + 0,3 + 0,2 = 0,9. Можно воспользоваться формулой p (A + В) = p (A) + p (B) – - p (AВ). Произведение AB содержит один элементарный исход { КТ }, поэтому p (AВ) = 0,4, тогда p (A + В) = 0,6 + 0,7 – 0,4 = 0,9.

Можно перейти к вероятности противоположного события:

p (A + B) = 1 – p () = 1 – p ({ }) = 0,9.

Аналогично p ( + ) = 1 – p (AB) = 1 – 0,4 = 0,6.

4.3.2. Поезда метро следуют с интервалом в две минуты. Пассажир приходит на станцию в случайные моменты времени. Чемy равна вероятность того, что пассажиру придется ждать поезда не более чем 30 с, если поезд стоит 30 с?

Решение. В данном случае множество W состоит из точек отрезка [0;2] (время выражено в минутах). Предполагается, что можно воспользоваться схемой геометрических вероятностей. Событие A = {время ожидания поезда не превосходит тридцати секунд} состоит из точек отрезка [0; 0,5] и [1,5; 2].

Вероятность события А равна .

4.3.4. Доказать теорему сложения вероятностей.

Решение. Сумма совместных событий и раскладывается на три попарно несовместных слагаемых: . Кроме того, . Следовательно,

; ;

.

Дата добавления: 2014-01-07