Замена переменной в неопределенном интеграле

Таблица основных неопределенных интегралов.

1. .

2. .

3. .

4^*.

5. 5’. .

6. . 6’. .

7. . 7’. .

8. . 8’.

9. . 9’. .

10^*.

11^*.

12. .

13. .

14. .

15. .

16^*.

17^*.

Теорема. Пусть − функция класса , а обладает первообразной функцией на интервале . Тогда

1. .

Если, кроме того, производная сохраняет знак на интервале , то

2. ,

где − функция, обратная по отношению .

Доказательство. 1. Правило дифференцирования сложной функции даёт:

.

2. Так как производная сохраняет знак, то замена монотонная. Поэтому существует обратная функция , непрерывная на интервале . Если подставить в уже доказанное соотношение 1. , то получим

. Ч. и т. д.

Вычислить интегралы: , , , .

Решение. 1. Пусть . Тогда , т.е. . Следовательно, .

2. Делаем замену: или . При этом , , . Поэтому .

3. .

Это − табличный интеграл 10^*. . Из него сразу следует еще одна табличная формула: 11^*. .

4. Сделаем замену (монотонную) , или . Тогда будет и

. Поэтому =

. Это приводит нас к формуле
16^*. .

Дата добавления: 2014-01-07