Неоднородное уравнение

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y’’+py’+qy=f(x) (3) можно записать в виде суммы , где - общее решение соответствующего уравнения (1) без правой части, определяемое по формулам (1)-(3), и Y – частное решение данного уравнения (3).

Функция Y может быть найдена методом неопределенных коэффициентов в следующих простейших случаях:

1 , где - многочлен степени n. Если a не является корнем характеристического уравнения (2), т.е. , то полагают , где - многочлен степени n с неопределенными коэффициентами.

Если а есть корень характеристического уравнения (2), т.е. , то , где r – кратность корня а (r=1 или r=2)

2. . Если , то полагают , где - многочлены степени N=max{n,m}.

Если же то полагают , где - многочлены степени N=max{n,m}, r – кратность корней (для уравнений 2-го порядка r=1).

В общем случае для решения уравнения (3) применяется метод вариации произвольных постоянных.

Этот метод применяется для отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения n -го порядка как с переменными, так и с постоянными коэффициентами, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

Метод вариации для уравнения второго порядка y’’+py’+qy=f(x) заключается в следующем. Пусть известна фундаментальная система решений . Тогда общее решение неоднородного уравнения следует искать в виде , где функции определяются из системы уравнений Решение этой системы находим по формулам в силу чего y(x) можно сразу определить по формуле здесь - вронскиан решений

Рассмотрим решения линейных однородных и неоднородных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

1. Найти общее решение уравнения y’’-7y’+6y=0

Решение. Составим характеристическое уравнение ; его корни . Следовательно, - частные линейно независимые решения, а общее решение имеет вид

2. Найти общее решение уравнения y’’-2y’+y=0

Решение. Составим характеристическое уравнение ; его корни . Следовательно, - частные линейно независимые решения, а общее решение имеет вид

3. Найти общее решение уравнения y’’-4y’+13y=0

Решение. Составим характеристическое уравнение ; его корни . Корни характеристического уравнения комплексные сопряженные, а поэтому им соответствуют частные решения , а общее решение имеет вид

4. Найти общее решение уравнения y’’-2y’-3y=

Решение. Составим характеристическое уравнение ; его корни . Следовательно, - частные линейно независимые решения, а общее решение однородного уравнения имеет вид . Частное решение исходного уравнения следует искать в виде (так как в правой части отсутствует синус и косинус, коэффициентом при показательной функции служит многочлен нулевой степени, т. е. m=n=0 и r=0, поскольку не является корнем характеристического уравнения).

Итак

_______________________

Следовательно, общее решение данного уравнения

5. Найти общее решение уравнения y’’+y=3sinx

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни , а поэтому общее решение однородного уравнения . Частное решение следует искать в виде (в данном случае так как i является простым корнем характеристического уравнения, то m=n=0 и r=1, имеем

Итак

_______________________

Следовательно, общее решение данного уравнения

6. Найти общее решение уравнения y’’+y=tgx

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни , а поэтому общее решение однородного уравнения . Частное решение исходного уравнения методом неопределенных коэффициентов искать нельзя (функция f(x), в отличие от предыдущего имеет другую структуру), а поэтому воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Будем искать решение уравнения в виде , где функции нужно искать из системы уравнений

Таким образом, общее решение исходного уравнения

Дата добавления: 2014-01-07