Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Интегрируемость функции на сегменте




Определенный интеграл и его геометрические приложения

Пример 2.

Пример 1.

, где р>0.

Это несобственный интеграл второго рода, так как , где р>0, – неограниченная на (0;1) функция: .

При р¹1:

При р=1: .

Таким образом, несобственный интеграл сходится при р<1 и расходится при р³1.

 

.

Рис.1 Пусть функция f(x) задана на сег­менте [a,b] (a<b). Обозначим че- рез Т разбиение [a,b] при помощи не совпадающих друг с другом точек a=x0<x1<...<xn=b на n частич- ныхсегментов [x0,x1]...[xn-1, xn]. Точки x0,x1,...,xn называются точками разбиения Т. Пусть - произвольная точка частичного сегмента [xi-1,xi]. Разность Dxi=xi -xi-1 будем называть длиной частичного сегмента [xi-1,xi].

Определение 1. Число , где

называется интегральной суммой функции f(x), соответствующей данному разбиению Т сегмента [a,b] и данному выбору промежуточных точек на частичных сегментах [xi-1,xi].

Обозначим - диаметр разбиения Т сегмента [a,b].

Геометрический смысл интегральной суммы . Рассмотрим криволинейную трапецию - фигуру, ограниченную графиком функции f(x) (будем считать ее положительной и непрерывной), двумя ординатами, проведенными в точках a и b оси абсцисс и осью абсцисс.

Интегральная сумма - площадь ступенчатой фигуры (рис.1).

 

Определение 2. Число I называется пределом интегральных сумм при D®0, если для "e>0 можно указать такое положительное число , что для любого разбиения Т сегмента [a,b], максимальная длина D частичных сегментов которого <d, независимо от выбора точек на сегментах [xi-1,xi] выполнено неравенство

Если интегральная сумма при D®0 имеет пределом число I, то будем записывать это так .

 

Определение 3. Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на [a,b], если существует конечный предел I интегральных сумм этой функции при D®0. Указанный предел I называется определенным интегралом функции f(x) по [a,b] и обозначается так:

Из рисунка видно, что определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, определяемой графиком функции f(x) на [a,b].

Справедлива следующая

Т еорема. Неограниченная на [a,b] функция f(x) не интегрируема на этом сегменте.

Доказательство: Пусть функция f(x) неограничена на [a,b], тогда она не ограничена на некотором частичном сегменте [xk-1,xk] любого данного разбиения Т сегмента [a,b]. Тогда слагаемое f()Dxk интегральной суммы , отвечающее этому разбиению Т, за счет выбора т.может быть сделано как угодно большим по абсолютной величине, т.е. интегральные суммы , отвечающие любому разбиению Т, не ограничены, и поэтому не существует конечного предела интегральных сумм. Итак, будем рассматривать лишь ограниченные на [a,b] функции.

Замечание: Отметим, что вообще говоря, не всякая ограниченная на [a,b] функция является интегрируемой на этом сегменте.

Проверьте это положение для функции Дирихле (значения в рациональных точках 1, а в иррациональных - 0). Эта функция не интегрируема на [a,b].

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 1052; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.