Вычисление длины дуги плоской кривой при

различных способах ее задания.

1) Если кривая L является графиком функции y=f(x) и непрерывна на [a,b], то кривая L спрямляема, и длина l ее дуги вычисляется по формуле

.

Доказательство. График функции представляет кривую, определяемую параметрическими уравнениями x=t, y=f(t), a £ t £ b, и выполнены условия теоремы о достаточных условиях спрямляемости и длине дуги плоской кривой. Полагая j(t)=t, y(t)=f(t) и заменяя переменную интегрирования t на x, получим .

2) Кривая L определяется полярным уравнением r=r(q),q₁ £ q £ q₂ и r(q) имеет на [q₁, q₂] непрерывную производную, тогда кривая L спрямляема, и длина l дуги L может быть найдена по формуле

Формула перехода от полярных координат к декартовым координатам , следовательно, L определяется параметрическими уравнениями, в которых функции удовлетворяют условиям теоремы, откуда следует, что

Примеры. 1) Найти длину линии, заданной уравнениями .

Перейдем к параметрическим уравнениям

2) Найти длину дуги полукубической параболы у²=х³, заключенной между точками (0,0) и (4,8).

Так как х³0, то и Следовательно, .

3. Найти длину первого витка архимедовой спирали r=аj.

Первый виток архимедовой спирали образуется при изменении полярного угла j от 0 до 2p Поэтому .

Дата добавления: 2014-01-20