Достаточные условия экстремума

Пусть определена, непрерывна и имеет непрерывные производные первого и второго порядка в некоторой окрестности стационарной точки . Тогда:

Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности стационарной точки.

= .

(При этом . – вычислены в точке , .

Обозначая , получим , где

при , и, следовательно,

.

В силу того, что второе слагаемое в скобках бесконечно мало по сравнению с первым, знак приращения определяется знаком второго дифференциала функции (если он не обращается в нуль). Следовательно от знака второго дифференциала зависит наличие экстремума функции в исследуемой точке.

В алгебре:

Def. Вещественно значная функция векторного аргумента называется квадратичной формой, а квадратная матрица – матрицей квадратичной формы.

Из определения квадратичной формы ясно, что второй дифференциал функции является квадратичной формой , матрица которой состоит из От свойств этой квадратичной формы и зависит имеет ли функция экстремум в рассматриваемой точке или нет.

Def. Квадратичная форма называется положительно определённой, если она принимает положительные значения при всех значениях аргументов, не равных нулю одновременно. , причем .

Def. Квадратичная форма называется отрицательно определённой, если .

Def. Квадратичная форма называется полуопределённой, если

(или ).

Def. Квадратичная форма называется неопределённой, если

и .

Критерий Сильвестра: Для того чтобы квадратичная форма была положительно определённой необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы квадратичной формы были положительны. Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определённой необходимо и достаточно чтобы главные миноры матрицы квадратичной формы чередовались по знаку начиная с минуса:

Если миноры будут ++++… или –+–+… но среди них встречаются нулевые то форма будет полуопределённой. Δ▲.

Пример: Форма имеет матрицу:

А = . Ее миноры:

Все миноры положительны, форма положительно определена. В самом деле, нетрудно проверить, что: .

Т°. Если квадратичная форма т.е. второй дифференциал функции,

будет положительно определённой то функция, в испытуемой точке, функция будет иметь минимум; если отрицательно определённой то функция будет иметь максимум.

Если форма полуопределена, то для ответа на вопрос о экстремуме функции требуется привлечение производных более высокого порядка. Во всех остальных случаях – экстремума нет. Δ▲.

Примеры:

1°. Исследовать на экстремум функцию:

Необходимые условия экстремума:

.

Достаточные условия экстремума: составим матрицу из вторых производных:

.

Главные миноры положительны, значит второй дифференциал положителен:

Функция в точке (0,0) имеет минимум. Впрочем, это ясно если построить линии

уровня функции, u = const: (эллипсы). Функция задает эллиптический параболоид.

2°.

Необходимые условия экстремума:

Достаточные условия экстремума: Þ . Второй дифференциал – полуопределён. Обратим внимание на то,что:

при этом ясно, что на линии функция равна нулю, а вне этой линии u > 0. (параболический цилиндр).

Дата добавления: 2014-01-11