КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Функции многих переменных, заданные неявно
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой ограниченной области D нужно найти все внутренние точки D «подозрительные» на экстремум и сравнить со значениями функции в граничных точках области. Наибольшее (наименьшее) из этих значений и будет наибольшим (наименьшим) значением функции в области. В замкнутой области. Наибольшие и наименьшие значения функции
Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D. По теореме Вейерштрасса, функция в этой области достигает наибольшего и наименьшего значения. Примеры: 1°. Найти наибольшее значение функции в треугольнике:. Получаем: . Внутри области обращаются в ноль только в точке На границах области функция u = 0. Наибольшее значение функции u (x, y):
20. Найти наибольшее и наименьшее значение функции: при условии .
а). Из условия: и, исключая из переменную получим: . Сформулируем новую задачу: Найти наибольшее и наименьшее значение функции в круге x 2 + y 2 1. ; . Из необходимых условий следует, что: а1). x = 0, y = 0; (= 0); а2). x = 0, y = ; (= 0,25); а3). y = 0; x = (= 1); а4) . Последняя система, очевидно, решений не имеет.
б). Теперь надо посмотреть функцию на границе области, т. е. когда: x 2 + y 2 = 1 Þ y 2 = 1 – x 2 Þ для . Для нее: и, следовательно: б1). x = 0; (= 0) б2). x = ; (= 0,25).
в). И, наконец, надо посмотреть точки x = ±1 при этом в1). x = ± 1, (= 0).
Вывод: наибольшее значение функции в области = = 1, наименьшее значение = = = = 0.
3°. Для функции одного переменного, если внутри промежутка имелось только одна точка локального экстремума, то в ней обязательно достигалось наименьшее либо наибольшее значение. Для функций многих переменных это, вообще говоря, не так. Δ. Для примера рассмотрим функцию в прямоугольнике: . Необходимые условия экстремума: , . Отсюда следует: а1). x = 0, y = 0. а2). x = 2, y = 2 – не принадлежат прямоугольнику. Достаточное условие экстремума в точке (0,0): =, D1 = – 8; D2 = 12. Функция в D имеет локальный максимум. И, при этом, . Однако это значение не является наибольшим в области, ибо: . ▲
А. Уравнение F (x 1, x 2,…, x k, y) = 0 в (n+1) – мерном параллелепипеде: a i ≤ x i ≤ b i, i = 1, 2, 3…., n; c ≤ y ≤ d определяет y как однозначную функцию от x i: y = y (x 1, x 2, ….. x n), если для любой точки (x 1, x 2, …. x n) содержащейся в n -мерном параллелепипеде a i ≤ x i ≤ b i, i = 1, 2, 3…., n уравнение имеет один и только один корень y в промежутке [ c, d ].
To. Пусть: 1. F (x 1, x 2,…… x k, y) определена и непрерывна в (n + 1) – мерном параллелепипеде: с центром в , 2. Частные производные (i =1, 2,….., n) и существуют и непрерывны в D, 3. , 4. . Тогда: а. В некоторой окрестности уравнение определяет у как однозначную функцию y = f (x 1, x 2,… x n), б. При этом, , в. Функция y = f (x 1, x 2,… x n) непрерывна по всем своим аргументам, г. И имеет непрерывные частные производные , , ….., .
Б. При каких условиях, в общем случае, система m уравнений: (*) определяет y 1, y 2,…, y m как однозначные функции: ? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема, которая вместе с предыдущей носит название теоремы о неявных функциях.
To. Пусть: 1. Все функции F 1(..), F2(…), …. F m(…) определены и непрерывны в (n + m) мерном параллелепипеде: с центром в точке , 2. Существуют и непрерывны в D частные производные всех функций F j (…) по всем аргументам, 3. Точка удовлетворяет всем уравнениям системы (*), 4. Якобиан J системы в этой точке отличен от нуля. J = = ¹ 0. Тогда: а. В некоторой окрестности точки система уравнений (*) определяет y 1 = f 1 (x 1, x 2,… x n), y 2 = f2 (x 1, x 2,… x n),…, y m = f m (x 1,…, x n), как однозначные функции от аргументов x 1, x2, …., x n, б. При этом, y j0 = f j (x 10, x 20, …, x n0), j = 1, 2, …, m, в. Функции f 1, f 2, …., fm непрерывны в точке (x 10, x 20, …, xn 0), г. И имеют непрерывные частные производные по всем аргументам.
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 641; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |