Начальные понятия и определения

.

Необходимые условия экстремума:

.

Находя из этих соотношений , получаем две стационарные точки: и . Безусловно, можно установить характер экстремума в этих точках, однако, для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в этом нет никакой необходимости. Достаточно просто вычислить значения функции в найденных точках. Получаем и .

3°. Найти экстремум функции , при условии:

и область изменения переменных: x > 0, y > 0, z > 0, t > 0.

а). Функция Лагранжа: .

б). Необходимые условия экстремума функции Лагранжа:

; ; ; ; .

Отсюда: Þ Þ .

в) Преобразуем функцию Лагранжа, зафиксировав .

.

г). Для функции построим матрицу из вторых производных в окрестности точки : и, т.к. D₁ = 0 то критерий Сильвестра ответа на вопрос о экстремуме не дает. При этом:

.

Находя дифференциал из уравнения связи, получаем:, что

в окрестности особой точки равно: . Подставляя в , получаем:

= =

= = .

Ясно, что представляет собой положительно определенную квадратичную форму.

В точке исходная функция имеет условный минимум.

4°. Исследовать на наибольшее и наименьшее значение функцию:

, при условии .

а). Функция Лагранжа:

б). Необходимые условия экстремума функции Лагранжа:

; ;

; .

в). Решения этой системы:

*1. ; *2. ;

*3. ; *4. ;

*5. ; *6. .

*7. Если , то должны одновременно выполняться равенства:

; ; , что невозможно. Вычисляя значения функции в найденных точках, находим наибольшее и наименьшее ее значения, при условии .

Обращаем внимание на то, что устанавливать имеется ли в критических точках экстремум, и каков характер этого экстремума (т.е. проверять достаточные условия) при решении задачи о наибольшем и наименьшем значении функции нет никакой необходимости.

Def. Пусть , , .

Множество называется замкнутым промежутком или замкнутым брусом в .

Множество называется открытым промежутком

или открытым брусом в .

Def. Мерой промежутков и называется величина:

(Точнее ).

Def. Если такое, что то промежуток называется вырожденным и .

Свойства меры промежутка:

а). Положительность: , причем тогда и только тогда, когда – вырожден.

б). Положительная однородность: .

в). Аддитивность:

* для таких, что Þ ;

* для и Þ .

г). Монотонность меры: .

Def. Диаметром бруса (промежутка) называется величина:

Отметим, что и – это не одно и тоже. Например, если – вырожден, то , a (вообще говоря).

При этом: * ;

* ; * .

Def. Совокупность подпромежутков промежутка называется разбиением промежутка , если: * ;

* ; * ; * ; * .

Величина называется параметром разбиения P (при этом ).

Def. Разбиение называется измельчением разбиения , если все элементы разбиения получены разбиением элементов разбиения .

Обозначается: . Читается: мельче или крупнее .

Для отношения “ крупнее – мельче” справедливо:

*. транзитивность – ; *. ;

*. ; *. | .

Дата добавления: 2014-01-11