Замена переменных в дифференциальных выражениях

Решение задачи о замене переменных в дифференциальных выражениях посмотрим на примерах.

1°. В дифференциальном уравнениисделать замену независимых переменных , и получившееся уравнение решить.

Δ. По формулам дифференцирования сложных функций запишем:

;

.

Решаем получившуюся систему двух уравнений относительно и :

и .

Подставим найденные и в исходное уравнение:

.

После раскрытия скобок и приведения подобных членов получаем уравнение

Þ Þ , где –произвольная функция одного переменного. Возврат к старым переменным труда не представляет. ▲

2°. В дифференциальном уравнении заменить независимые переменные x и y на u и v, а искомую функцию z на w, если:

.

Δ = =

= .

С другой стороны, учитывая что , получаем .

Сравнивая два выражения для , получим:

; .

Первое равенство умножим на , а второе на и сложим. Тогда:

. Учтем, что левая часть равенства равна нулю (это исходное уравнение) Þ Þ Þ . ▲

3°. В выражении сделать замену переменных .

Δ. Прежде всего, отметим что и

; .

Тогда: или, что то же самое,

.

Значит:

Þ

; .

И, наконец:

.▲

Дата добавления: 2014-01-11