Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Область целостности




Кольцо многочленов

Обозначим через K (x) множество многочленов с коэффициентами из кольца K. На множестве этих многочленов можно определить операции сложения и умножения многочленов. Кольцо многочленов коммутативно если исходное кольцо коммутативно.

Рассмотрим вопрос, когда кольцо K можно вложить в некоторое поле (т.е. оно изоморфно некоторому кольцу в поле). Ясно, что необходимым условием является коммутативность кольца.

Элементы a,b из K, отличные от нуля и произведение которых равно 0, называются делителями нуля. В не коммутативном кольце различают левый и правый делители нуля, а, именно, если ab =0, то a – левый делитель, а b – правый делитель нуля.

Свойство 3.3. Тело не содержит делителей нуля.

Доказательство. Действительно, из , вытекает .

Коммутативное кольцо без делителей нуля называется областью целостности.

Теорема 3.1. Конечное коммутативное кольцо K без делителей нуля является полем.

Доказательство. Пусть . Рассмотрим последовательность степеней элемента a. Число различных элементов последовательности конечно, и, значит, найдутся в ней одинаковые элементы, например, с номерами k и j (, ). Но тогда, для любого b из K справедливо , и, следовательно (т.к. нет делителей нуля), . Элемент является нейтральным относительно умножения. Если j - k >1, то - обратный элемент к a. Если j - k= 1, то a является обратным сам к себе. Теорема доказана.

В общем случае, область целостности полем не является, например, кольцо целых чисел.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 2026; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.