Теория Галуа

Поле T называется конечным расширением поля P, если T является конечно мерным линейным пространством над P. Размерность пространства называется степенью расширения.

Любое алгебраическое расширение поля P является конечным. Его степень равна степени неприводимого многочлена.

Теорема 5.1. Конечное расширение U поля T, являющегося конечным расширением поля P, является конечным расширением P. Причем степень расширения U над P равна произведению степеней расширения.

Доказательство. Почти очевидно.

Элемент поля T называется алгебраичным над P, если он является корнем некоторого многочлена над P.

Все элементы конечного расширения P алгебраичны над P.

Любое конечное расширение может быть получено с помощью присоединения конечного числа алгебраических расширений.

Теорема 5.2. Любое конечное расширение поля P характеристики 0 является простым расширением.

Доказательство не очевидно.

Конечное расширение T называется нормальным расширением P, если из факта, что неприводимый многочлен над P имеет в T корень, следует его разложимость на линейные множители. Ясно, что нормальное расширение поля характеристики 0, является полем разложения многочлена. Верно и обратное утверждение. Поле разложения многочлена является нормальным расширением.

Автоморфизмом поля называется изоморфное отображение само на себя.

Группой Галуа нормального расширения T поля P называется группа автоморфизмов поля T, сохраняющая элементы поля P.

Теорема 5.3. Каждому промежуточному полю U, соответствует некоторая подгруппа группы Галуа, а именно, совокупность тех автоморфизмов, которые не меняют элементы . Поле определяется подгруппой однозначно.

6 -матрицы.

Дата добавления: 2014-01-11