Гомоморфизм колец

Однозначное отображение кольца K в кольцо H, сохраняющее операции сложения и умножения, называется гомоморфизмом колец (и ).

Свойство 3.4. , .

Множество элементов кольца K, образ которых равен 0, называют ядром гомоморфизма и обозначают , а множество элементов H, для которых существует прообраз, называют множеством образов и обозначают .

Свойство 3.5. - двусторонний идеал в K

Доказательство. Пусть . Так как , то . Аналогично, , и . Далее, , то есть . Тем самым установлено, что - подкольцо. Для имеем , то есть - двусторонний идеал в K.

Свойство 3.6. - подкольцо H

Доказательство. Пусть , тогда найдутся их прообразы c, d и так далее…

Теорема 3.5. Факторкольцо изоморфно . Для любого двустороннего идеала I кольца K существует гомоморфизм с ядром равным I, например, в K/I.

Доказательство. Изоморфизм задается соотношением .

Дата добавления: 2014-01-11