Поле частных

Теорема 3.2. Область целостности можно вложить в поле частных.

Доказательство. Пусть K - область целостности. Положим . На множестве M введем бинарное отношение . Это отношение рефлексивно (), симметрично () и транзитивно (), и, значит, является отношением эквивалентности. Множество M распадается на семейство не пересекающихся классов эквивалентности, которое обозначают . На множестве M определим операции сложения и умножения . Пусть принадлежит классу эквивалентности , , , , тогда (доказать самостоятельно). Таким образом, на множестве определены операции сложения и умножения. Легко убедиться, что эти операции удовлетворяют аксиомам поля. Поле называется полем частных. Подкольцо этого поля, состоящее из классов эквивалентности с представителями вида , изоморфно K. Теорема доказана.

Примером поля частных является поле рациональных чисел.

Дата добавления: 2014-01-11