Ускорение при равномерном движении по окружности

Криволинейное движение — движение по дугам окружностей.

Движение по любой криволинейной траектории можно приближенно представить как движение по дугам некоторых окружностей. Поэтому задача нахождения ускорения при равномерном криволинейном движении сводится к отысканию ускорения при равномерном движении тела по окружности.

Равномерное движение по окружности — это движение с ускорением, хотя по модулю скорость не изменяется. Наша задача выяснить, как направлено и чему равно это ускорение.

Вектор ускорения направлен к центру. Ускорение, как известно, определяется равенством

Обозначим для краткости разность двух значений скорости, т. е. ее изменение v — v₀, через Δ v. Тогда

Ясно, что вектор а направлен так же, как вектор Δ v, потому что t — величина скалярная.

Допустим, что тело движется по окружности радиусом г и в некоторый момент времени, который мы примем за начальный (t = 0), оно находится в точке А (рис. 60). Скорость v_o в этой точке направлена по касательной. Рассмотрим еще одну точку, очень близкую к точке А,— точку В, в которой тело, двигаясь по окружности, окажется через очень малый промежуток времени t. Будем считать, что точки А и В настолько близки друг к другу, что дуга АВ неотличима от хорды АВ, хотя на рисунке это и нельзя изобразить. Но как бы точка В ни была близка к точке А, скорость v в точке В все же отличается от скорости v_o направлением, хотя и не отличается от нее по модулю (v = v_o). Теперь мы можем найти вектор Δ v (см. § 4): перенесем вектор v. параллельно самому себе так, чтобы он и вектор v_o исходили из точки А, и соединим концы обоих векторов отрезком прямой, направив его от v_o к v. Получившийся направленный отрезок и есть вектор Δ v. Из рисунка видно, что вектор Δ v направлен внутрь окружности. И если точки А и В будут предельно близки друг к другу, то вектор Δ v, перенесенный в точку А, будет направлен к центру окружности. Туда же будет направлен и вектор ускорения а. Таким образом, при равномерном движении тела по окружности его ускорение во всех точках окружности «устремлено» к ее центру. Его так и называют центростремительным ускорением. Обозначим его а.

Ускорение тела, равномерно движущегося по окружности в любой ее точке, центростремительное, т. е. направлено по радиусу окружности к ее центру. В любой точке вектор ускорения перпендикулярен вектору скорости. Эта особенность ускорения при равномерном движении по окружности показана на рисунке 61.

Чему равен модуль центростремительного ускорения? Числовое значение (модуль) ускорения мы легко найдем из рисунка 60.

Треугольник, составленный из векторов v₀, v и Δ v, равнобедренный, так как v = v ₀ . Треугольник ОАВ на том же рисунке тоже равнобедренный, потому что стороны OA и ОВ — радиусы окружности. Углы при вершинах обоих треугольников равны, так как они образованы взаимно перпендикулярными сторонами: v₀ ┴ OA и v ┴ OB. Поэтому треугольники подобны, как равнобедренные с равными углами при вершинах. Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон:

Здесь v и Δ v — модули скорости и изменения скорости при переходе из точки А в В, r— радиус окружности. Но, как указывалось раньше, если точки А и В очень близки друг к другу, то хорда АВ неотличима от дуги АВ. Длина же дуги АВ — это путь, пройденный телом с постоянной по модулю скоростью v. Он равен vt. Поэтому можно написать:

Так как рассматриваемый нами промежуток времени очень мал, то

есть модуль ускорения. Следовательно,

(3)

Таким образом, при равномерном движении по окружности во всех ее точках ускорение по модулю одно и то же — а. Но направлено оно всегда по радиусу к центру (см. рис. 61), так что направление ускорения от точки к точке изменяется. Равномерное движение по окружности нельзя назвать равноускоренным.

Напомним, что равномерное движение по окружности нас интересовало потому, что всякое движение по криволинейной траектории можно представить как движение по дугам окружностей различных радиусов.

Теперь мы можем сказать, что в любой точке криволинейной траектории тело движется с ускорением, направленным к центру той окружности, частью которой является участок траектории, содержащий эту точку. Модуль же ускорения зависит от скорости тела и от радиуса соответствующей окружности. На рисунке 62 показана некоторая сложная траектория, по которой движется тело, и центростремительные ускорения тела в различных ее точках.

Дата добавления: 2014-01-14