КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Метод наименьших квадратов. Для получения искомой зависимости y=f(x) по имеющимся экспериментальным точкам (xi, yi) обычно пользуются методом наименьших квадратов
Лекция №8
Для получения искомой зависимости y=f(x) по имеющимся экспериментальным точкам (xi, yi) обычно пользуются методом наименьших квадратов. В этом случае задача состоит в том, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от сглаживающей кривой обращалась в минимум:
. (8.1)
Здесь xi, yi - экспериментальные значения переменных в i-том опыте; N - количество опытов, N>S, где S - число коэффициентов искомой зависимости. При выборе вида зависимости y=f(x) возможны следующие случаи: 1. Общий вид зависимости y=f(x) известен заранее на основании теоретических предпосылок. Задача состоит в нахождении числовых значений параметров этой зависимости. 2. Зависимость y=f(x) неизвестна и нет никаких предположений о ее математической форме. В этом случае для эмпирического описания исследуемой закономерности в области ее существования, ограниченной пределами изменения аргумента, удобно применить алгебраический полином определенной степени. Рассмотрим методику определения числовых значений параметров y=f(x), удовлетворяющих условию (8.1). При этом будем считать, что вид функции f(x), зависящей от нескольких параметров a l, l =1, 2, 3... известен. Запишем y как функцию не только аргумента x, но и параметров a1, a2, a3,…, т.е.
y=f(x, a1, a2, a3,…).
Найдем значения al, при которых левая часть выражения (8.1) обращается в минимум. Для этого продифференцируем его по переменной al и приравняем производные к нулю. Тогда получим:
,
; (8.2)
.
и т.д. Здесь - значение частной производной функции f по параметру al в точке х=xi, y=yi. Система уравнений (8.2) содержит столько же уравнений, сколько и неизвестных коэффициентов a1, a2, a3,…. Решить эту систему в общем виде нельзя – надо знать конкретный вид функции f. В случае, когда эта функция задана в виде алгебраического полинома, система уравнений (8.2) получается линейной относительно искомых коэффициентов полинома. Ее обычно называют нормальной.
Если y является функцией нескольких аргументов, процедура нахождения параметров al в принципе не меняется. В уравнение (8.2) подставляются те сочетания аргументов, которые имели место в i-том опыте. Рассмотрим методику проведения эксперимента, когда искомая зависимость y=f(x) может быть представлена в линейном виде:
y = a0 + a1x. (8.3)
Для нахождения коэффициентов a0 и a1 воспользуемся методом наименьших квадратов, согласно которому задача вычисления числовых значений коэффициентов сводится к отысканию экстремума функции двух переменных a0 и a1:
. (8.4)
Взяв частные производные от S2 по переменным a0 и a1 и приравняв их к нулю, получим систему нормальных уравнений
; (8.5) .
Решение системы (8.4) дает значение искомых коэффициентов.
Пример 1 При проведении экспериментальных исследований скоростной характеристики двигателя постоянного тока с независимым возбуждением получены следующие результаты:
Согласно теоретическим данным зависимость скорости двигателя от тока якоря описывается следующим уравнением
. (8.6)
Здесь w, w0 = а0 – угловые значения текущей скорости и скорости идеального холостого хода, с-1; U - напряжение сети, В; I - ток якоря, А; Rя, Rр - сопротивление якоря и дополнительное сопротивление якорной цепи, Ом; Ф - магнитный поток двигателя, Вб; К - конструктивная постоянная машины, В×с/Вб; С1 – коэффициент, В×с (Н×м/А). При неизменных U, Ф и R (условие проведения эксперимента) эта зависимость линейна, а ее характеристика прямая линия. Определим коэффициенты a0, a1 уравнения (8.5). Для нахождения коэффициентов a0, и a1 воспользуемся методом наименьших квадратов (используем для определения искомых коэффициентов систему уравнений (8.4)). В рассматриваемом случае она примет вид
; (8.7) .
Решение системы (8.6) дает значение искомых коэффициентов. В рассматриваемом случае в соответствии с результатами эксперимента
Подставив эти значения в (8.6), найдем а0=146,5 с-1; и а1=4,262 (А×с)-1. Тогда зависимость w=f(I) примет вид
w = 146,5 - 4,262×I. Аппроксимирующая прямая и экспериментальные точки приведены на рис. 8.1.
Рисунок 8.1 Лекция №9 (Продолжение темы «Метод наименьших квадратов»)
Статическая оценка результатов аппроксимации. 1. Дисперсия воспроизводимости.
, (9.1 где m - число параллельных опытов в i-й точке, j - порядковый номер параллельного опыта в i-й точке. Обычно критерием равноточности служит отношение максимальной дисперсии в соответствующей опытной точке Dyмакс к сумме всех дисперсий в N опытных точках:
. (9.2)
Полученное значение G сравнивается с табличным GT (см. приложение 2), определенным для числа степеней свободы m-1, N при принятом уровне значимости (чаще всего равном 0,05). Если G<GT, то гипотеза о равноточности не отвергается. Дисперсия опыта (средняя дисперсия математических ожиданий)
. (9.3)
Здесь mN=n - общее число измерений.
2. Оценка адекватности аппроксимирующей зависимости исследуемому объекту обычно производится с помощью критерия Фишера
. (9.4)
Здесь Dya остаточная дисперсия, равная
, (9.5)
где S - количество искомых параметров аппроксимирующей зависимости; ypi - расчетное значение функции в i-й точке при аппроксимации ее зависимостью вида y=f(x1, x2,..). Полученное значение F сравнивается с табличным FT (см. приложение 1), определенным для степеней свободы r1=N-S; r2=N(m-1) при принятом уровне значимости. Если F<FT, то гипотеза от адекватности не отвергается. Если погрешность опыта известна априори, то при £ модель адекватна.
Дата добавления: 2014-11-06; Просмотров: 778; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |