Спектр дискретного сигнала

Определим дискретный сигнал x _д(t) через совокупность отсчетов непрерывной функции x (t):

x (k) =x (t=k Δ). (11.1)

Тогда сам дискретный сигнал можно записать в виде модели:

x _д(t) =x (t) f_n (t), (11.2)

где - безразмерная периодическая (с периодом Δ) решетчатая функция.

Покажем, что дискретный сигнал (11.1) имеет спектр по Фурье вида

где Ś_x (f) - спектр исходного непрерывного сигнала x (t). Из (11.3) следует, что спектр дискретного сигнала повторяется с периодом частоты дискретизации F д.

Из математики известно (задача Парсеваля), что спектр Фурье от произведения двух функций определяется сверткой спектров сомножителей, где Ś _fn(f) - спектр по Фурье периодической функции f_n (t) c периодом Δ, которая представима комплексным рядом Фурье:

(при интегрировании учтено фильтрующее свойство δ-функции).

Спектральная плотность периодической функции

определяется суммой δ-функций:

С учетом (11.5) интегрирование (11.4) дает результат (11.3). Из спектра (11.3) можно без искажений восстановить спектр Ś _x(f), следовательно, и сам непрерывный сигнал x (t), только при условии, если отдельные копии спектра Ś _x(f - kF _д) взаимно не пересекаются. Это возможно, если F _д > 2 F _в или Δ < 1/2 F _в. Восстановление осуществляют фильтром нижних частот, АЧХ которого показана на предыдущем рисунке пунктирной линией. Реализация такого фильтра тем проще, чем сильнее выполняется неравенство F _д > 2 F _в.

Спектр дискретного сигнала можно определить не только по формуле (11.3), но и путем непосредственного применения прямого преобразования Фурье к функции (11.1). Это дает следующий результат:

Определим теперь спектр Фурье дискретного финитного (непериодического) сигнала, определенного на интервале (0; Т). Такой финитный сигнал можно записать в виде

Спектр сигнала (11.6) можно найти, если его периодически продолжить направо и налево с периодом Т. Тогда получаем периодический сигнал Х _{д пер}(t), совпадающий с Х _дф(t) на интервале (0; Т), для которого комплексные амплитуды Ćn можно получить из (11.7)

при ω=2π n / T суммированием от k =0 до k = N -1 и с учетом сомножителя 1/ Т:

Формула (11.8) определяет коэффициенты дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Из нее следует, что при заданных N отсчетах x (k) существует N коэффициентов ДПФ (n =0,1,2,3,…, N -1). Коэффициент

определяет постоянную составляющую. При четном N из (11.8) следует для вещественных x (k):

т. е. коэффициенты ДПФ, номера которых располагаются симметрично относительно N /2, образуют комплексно-сопряженные пары. Можно считать, что коэффициенты ĆN /2, ĆN /2+2,… CN -1 соответствуют отрицательным частотам. Число же амплитуд, образующих спектр ДПФ, равно N /2. Это следует из теоремы отсчетов Котельникова при Δ=1/2 F _в. При таком условии спектр x _дпер(t) содержит F _в/(1/ Т)= Т/ (2Δ)= N /2 амплитуд.

При заданных Ćn (n =0,1,2,3,… N -1) функцию x (k) можно определить с помощью обратного преобразования Фурье (ОДПФ), представляя периодическую функцию x _пер(t) c периодом Т рядом Фурье:

Положив в (11.10) t = k Δ, получаем ОДПФ:

Как прямое, так и обратное преобразования Фурье линейны.

Дата добавления: 2014-11-06