Ol — V2X 40 страница

§ 47. Индуктивное сопротивление

Существенную часть силы сопротивления, испытываемой хорошо обтекаемым крылом (конечного размаха), состав­ляет сопротивление, связанное с диссипацией энергии в тон­ком турбулентном следе. Это сопротивление называют индук­тивным.

В § 21 было показано, каким образом можно вычислить свя­занную со следом силу сопротивления, рассматривая движение жидкости вдали от тела. Полученная там формула (21,1), од­нако, в данном случае неприменима. Согласно этой формуле со­противление определяется интегралом от v_x по площади сечения следа, т. е. расходом жидкости через сечение следа. Но ввиду тонкости следа за хорошо обтекаемым крылом этот расход в данном случае мал, и в рассматриваемом ниже приближении им можно вовсе пренебречь.

Подобно тому как мы поступали в § 21, пишем силу F_x в виде разности полных потоков х-компоненты импульса через плоско­сти х = х\ и х = х% проходящие соответственно значительно по­зади и значительно впереди тела. Написав три компоненты ско­рости в виде U 4- Vx, v_y, v_z, будем иметь для компоненты И_Хх плотности потока импульса выражение П** = р + Q (U + v_x)² так что сила сопротивления есть

Ввиду тонкости следа можно пренебречь (в интеграле по пло­скости x = Xi) интегралом по площади его сечения и, таким образом, интегрировать везде только по области вне следа. Но вне следа движение потенциально и имеет место формула Бер­нулли

P + f (U + vf = _Po + -^

откуда

_p = p_Q-_pUv_x-%(vl + vl + vl). (47,2)

Пренебречь здесь квадратичными членами (как это было сделано в § 21) нельзя, так как именно ими определяется в дан­ном случае искомая сила сопротивления. Подставляя (47,2) в (47,1), получим:

^рН\\-\\)[р* + '^и' + е^и°* + т№-Ъ-^ай ** ^dz-

Разность интегралов от постоянной величины p_Q-\-pU² обра­щается в нуль; исчезает также разность интегралов от pUv_x, по­скольку потоки жидкости ^ ^ pv_x dy dz через переднюю и зад­нюю плоскости должны быть одинаковыми (расходом жидкости через сечение следа в рассматриваемом приближении пренебре­гаем). Далее, отодвигая плоскость х = х₂ достаточно далеко вперед от тела, будем иметь на ней очень малые значения ско­рости v, так что интегралом от p{v\ — v²— и|)/2 по этой пло­скости можно пренебречь. Наконец, при обтекании хорошо обте­каемого крыла скорость v_x вне следа мала по сравнению с v_u и v_z- Поэтому в интеграле по плоскости х = Х\ можно пренеб­речь v² по сравнению с ti- + v². Таким образом, получим:

^Fx = i\\{°²y+»l)dyd*' (⁴7.3)

где интегрирование производится по плоскости x = const, распо­ложенной на большом расстоянии позади тела, причем сечение следа исключается из области интегрирования ').

Вычисленное таким образом сопротивление хорошо обтекае­мого крыла можно выразить через ту же циркуляцию скорости

') Формула (47,3) может создать впечатление, что порядок величины скоростей v_y, v_z вообще не убывает с расстоянием х. Это действительно так до тех пор, пока толщина следа мала по сравнению с его шириной, что и предполагалось при выводе формулы (47,3). На очень больших расстояниях позади крыла след в конце концов расширится настолько, что его сечение станет примерно круговым. Формула (47,3) здесь уже неприменима, a v_y, v, будут быстро убывать с увеличением расстояния.

Г, которая определяет и подъемную силу. Для этого прежде всего заметим, что на достаточно большом расстоянии от тела скорость слабо зависит от координаты х и потому можно рас­сматривать v_y(y,z), v_z(y,z) как скорость некоторого двухмер­ного движения, считая ее не зависящей от х вовсе. Удобно ввести в качестве вспомогательной величины функцию тока (§ 10), так что и_г = д^/ду, v_y = —о\|)/6\г. Таким образом,

где интегрирование по вертикальной координате у производится от +оо до г/i и от г/г до —°o((/i, у₂— координаты верхней и нижней границ следа; см. рис. 18). Ввиду потенциальности дви­жения вне следа (rot v = 0) имеем

ду² ^ дг^{2 и>}

Применяя к написанному интегралу двухмерную формулу Грина, получаем поэтому:

'.—if***

где интегрирование производится по контуру, огибающему об­ласть интегрирования в исходном интеграле (д/дп — дифферен­цирование по направлению внешней нормали к контуру). На бес­конечности гр = 0 и, следовательно, надо интегрировать по кон­туру поперечного сечения следа (сечения плоскостью у, z), в результате чего получаем:

'-*$♦[(£),-(£).]-*

Здесь надо интегрировать по ширине следа dz, а стоящая в квадратных скобках разность есть скачок производной д^/ду при прохождении через след. Замечая, что dty/ду = v_z = ду/dz, имеем:

(д±\ _ (д±\ ₌ (д<р\ _ / дер \ dT \ ду)₂ \ду Л V дг)₂ \ дг Л dz '

так что

Наконец, воспользуемся известной из теории потенциала фор­мулой

♦~±$[(£).-(£)>'*

где интегрирование производится по некоторому плоскому кон-^ТУРУ| ^Г — расстояние от dl до точки, в которой разыскивается значение а в квадратных скобках стоит заданный скачок про­изводной от \р по направлению нормали к контуру¹). В нашем случае контуром интегрирования является отрезок оси z, так что для значений функции yp(y,z) на оси z можно написать:

Наконец, подставляя это в F_x, получим окончательно для индук­тивного сопротивления следующую формулу:

Л—^JjV^-lnl.-^l-.*' (47,4)

О о

(L. Prandtl, 1918). Длина размаха крыла обозначена здесь по­средством U =» /, а начало отсчета г выбрано на одном из его концов.

Если увеличить все размеры по оси г в некоторое число раз (при неизменных Г), то интеграл (47,4) не изменится²). Это по­казывает, что полное индуктивное сопротивление крыла не из­меняется по порядку величины при увеличении его размаха. Другими словами, индуктивное сопротивление, отнесенное к еди­нице длины крыла, падает с увеличением этой длины³). В про­тивоположность сопротивлению полная подъемная сила

F_y = - pU J Г dz (47,5)

') Эта формула определяет в двухмерной теории потенциала потенциал, создаваемый заряженным плоским контуром с плотностью заряда, равной

_!_Г(.*ёл _ (Мл 1

2я LV дп /2 V дп)\У

²) Во избежание недоразумений отметим, что тот факт, что при измене-
нии единиц измерения длины стоящий под знаком интеграла логарифм увели-
чивается на постоянную, несуществен. Действительно, интеграл, отличаю-
щийся от написанного тем, что в нем вместо ln\z — z'\ стоит const, все рав-

S

dV -^-dz=r| = 0 (на краях следа Г обращается

в нуль).

³) В пределе, при стремлении размаха к бесконечности, отнесенное к еди-
нице длины индуктивное сопротивление обращается в нуль. В действительно-
сти при этом остается небольшое сопротивление, определяющееся расходом

жидкости (т.е. интегралом ^o^rf^rfz^ в следе, которым мы пренебрегли

при выводе формулы (47,3); это сопротивление включает в себя как сопро­тивление трения, так и остающуюся часть сопротивления, связанного с дисси­пацией в следе.

растет примерно пропорционально размаху крыла, а отнесенная к единице длины — остается постоянной.

Для фактического вычисления интегралов (47,4) и (47,5) удо­бен следующий метод. Вместо координаты г вводим новую пе­ременную в согласно

z = y(1-cos0), 0<9<я. (47,6)

Распределение же циркуляции задается в виде тригонометриче­ского ряда

оо

Г = - 2UI £ А_п sin «9. (47,7)

Здесь выполнено условие Г = 0 на концах крыла, т. е. при z = 0,/ или 8 = 0, л.

Подставив это выражение в формулу (47,5) и производя ин­тегрирование (учитывая при этом взаимную ортогональность функций sin 0 и sin nQ с п ф 1), получим:

pU² 2

nl²A

Таким образом, подъемная сила зависит только от первого коэф­фициента в разложении (47,7). Для коэффициента подъемной силы (46,2) имеем:

С_у = якА_и (47,8)

где введено отношение % = 1/1_х размаха крыла к его ширине.

Для вычисления сопротивления перепишем формулу (47,4), произведя в ней однократное интегрирование по частям:

'.-fciJ"-(.>^£$-. («••»

о о

Стоящий здесь интеграл no dz' должен быть взят, как легко ви­деть, в смысле его главного значения. Элементарное вычисле­ние с подстановкой (47,7)') приводит к следующей формуле для

') При интегрировании по dz' приходится брать интеграл (главное зна­чение)

п

cos п%' ^g, _ п sin пв

[___________________ _и_________________

J cos 9' — cos 9 sin G

о

При интегрировании же по dz пользуемся тем, что л

Lin«esin_m0d9=("^{/2 при} " = '"•
J 10 при пфт,

0 коэффициента индуктивного сопротивления:

оо

C_x = nkZnAl (47,10)

Коэффициент сопротивления крыла мы определяем как

относя его, как и коэффициент подъемной силы, к площади кры­ла в плане.

Задача

Определить минимальное значение индуктивного сопротивления, которое может быть достигнуто при заданных подъемной силе и размахе крыла

Решение. Из формул (47,8) и (47,10) ясно, что минимальное значение С при заданном С_в (т.е. заданном А\) достигается, если равны нулю все А„ с п Ф 1. При этом

^C*min ⁼~nX^Cr W

Распределение же циркуляции по размаху крыла дается формулой

_Г = _-±-Ш^Уг1ГГ^. (₂)

Если длина размаха достаточно велика, то движение жидкости вокруг каж­дого сечения крыла приближенно соответствует плоскому обтеканию беско­нечно длинного крыла с таким профилем сечения. В этом случае можно утвер­ждать, что распределение (2) циркуляции осуществляется при эллиптической в плане (в плоскости х, г) форме крыла с полуосями 1_х/2 и 1/2.

§ 48. Подъёмная сила тонкого крыла

Задача о вычислении подъемной силы крыла сводится по тео­реме Жуковского к задаче о вычислении циркуляции Г. Эта за­дача может быть решена в общем виде для хорошо обтекаемого

тонкого крыла бесконеч­ного размаха, с постоян­ным вдоль размаха про­филем сечения (излагае­мый ниже метод решения принадлежит М. В. Келды­шу и Л. И. Седову, 1939).

Пусть у = %_х(х) и у = =%2{х) — уравнения ниж­ней и верхней частей контура сечения (рис. 37). Мы предполагаем, что этот про­филь тонкий, слабо изогнутый и наклонен к направлению обтекания (оси х) под малым углом атаки; другими словами, малы как сами £1, £₂, так и производные т. е. нормаль к

контуру направлена везде почти параллельно оси у. При этих условиях можно считать возмущение v скорости жидкости, вы­зываемое присутствием крыла, везде (кроме лишь малой об­ласти вблизи передней закругленной кромки крыла) малым по сравнению со скоростью натекания U. Граничное условие на по­верхности крыла гласит v_y/U = tf при у = %. В силу сделанных предположений можно потребовать его выполнения не при у= £;, а при у = 0. Тогда на отрезке оси абсцисс от х = 0 до х =

— 1_хее= а должно быть:

v_y = U£₂(x) при у-+ + 0, v_y = U%\{x) при у-+-0. (48,1)

Имея в виду применить методы теории функций комплекс­ного переменного, вводим комплексную скорость dw/dz —

— Vx — ivy (ср. § 10), представляющую собой аналитическую функцию переменной z — х + [у. В данном случае на отрезке (0, а) оси абсцисс эта функция должна удовлетворять условию

Im-^- = — Ut,'₂(x) при у-> + 0,

dw ^(48,2)

Im = — Ut,[ (х) при у-* — 0.

Для решения поставленной задачи прежде всего представим искомое поле скоростей v(x, у) в виде суммы v = v+-|-v~ двух распределений, обладающих следующими свойствами симмет­рии:

v;(x, —y) = v-{x, у), v~(x, — y) = — v-(x, у),

х х у у -_48>3.

v+(x, —y) = — v+(x, у), v+(x, —y) = v+{x, у).

Эти свойства (для каждого из распределений v^- и v+ в отдель­ности) не противоречат уравнениям непрерывности и потенци­альности, и ввиду линейности задачи эти распределения можно искать независимо друг от друга.

Соответственно представится в виде суммы w' = w'₊ + w'_ также и комплексная скорость, причем граничные» условия на отрезке (0, а) для обоих членов суммы гласят:

Im w'₊ \_у+₊₀ = Im w'₊1^ _₀ = - ft + ф, Im w'_ U₊₀ = - Im w'_ U_₀ = I (И - Q.

(48,4)

Функция w'_ может быть определена с помощью формулы Коши:

где интегрирование производится в плоскости комплексного пе­ременного | по окружности L малого радиуса с центром в точке | = z (рис. 38). Контур L можно заменить окружностью С" бесконечно большого радиуса и обходимым по часовой стрелке контуром С; последний может быть стянут к дважды пробегае­мому отрезку (0, а). Интеграл по С обращается в нуль, так как и/(г) исче­зает на бесконечности. Интеграл же.по С дает следующее выражение:

dt. (48,5)

а

S₂(£)-Citt) 6-«

При этом мы воспользовались пре-
дельными значениями (48,4) мнимой
части w'_ на отрезке (0, а) и тем, что
согласно условиям симметрии (48,3)
Рис. 38 вещественная часть w'_ на этом от-

резке не испытывает скачка. Для нахождения же функции w'₊ надо применить формулу Коши не к самой этой функции, а к произведению w'₊{z)g(z), где

причем при z = x>a корень берется со знаком плюс. На от­резке (0, а) вещественной оси функция g(z) чисто мнимая и имеет разрыв:

^ (Л; Ю) = _ ^ (х — /0) = — / д/-^-^.

Ввиду этих свойств функции g(z) ясно, что мнимая часть про­изведения gw'₊ будет иметь на отрезке (0, а) разрыв, а веще­ственная часть будет непрерывна, подобно тому как это имеет место у функции w'_. Поэтому в точности аналогично выводу формулы (48,5) получим:

а

ti(£) + C2(S)

_g(l + io)di.

Собирая полученные выражения, найдем окончательно сле­дующую формулу, определяющую распределение скоростей

вокруг тонкого крыла:

dw_________ U_ Iz-а С

dz ~~ 2ni Л/ Т~ J

(48,6)

Вблизи закругленной передней кромки (т. е. при г-»-0) это выражение, вообще говоря, обращается в бесконечность, что свя­зано с непригодностью в этой области рассматриваемого при­ближения. Вблизи же задней заостренной кромки (т. е. при z->-a) первый член в (48,6) конечен; второй же член хотя, во­обще говоря, и обращается в бесконечность, но лишь логариф­мическим образом¹). Эта логарифмическая особенность связана с характером принятого здесь приближения и исчезает при бо­лее точном рассмотрении; никакой же степенной расходимости, в согласии с условием Чаплыгина, на задней кромке не оказы­вается. Выполнение этого условия достигнуто соответствующим выбором использованной выше функции g(z).

Формула (48,6) позволяет определить циркуляцию скорости Г вокруг профиля крыла. Согласно общему правилу (см. § 10) Г определяется вычетом функции w'(z) относительно точки z = 0, являющейся ее простым полюсом. Искомый вычет легко определить как коэффициент при l/z в разложении функции w'{z) по степеням l/z вблизи бесконечно удаленной точки:

dw _ Г ■ dz 2niz ' ''''

причем для Г получается простая формула

о ______

Г = 17$(Е; + Й)д/СХ^Я. (48,7)

о

Отметим, что сюда входит только сумма функций £i и £₂. Можно сказать, что подъемная сила не изменится, если заменить тонкое крыло изогнутой пластинкой, форма которой задается функцией (Ei + b)/2.

Так, например, для крыла в виде плоской пластинки беско­нечного размаха, наклоненной под малым углом атаки а, имеем £, = £₂ = а(а— х), и формула (48,7) дает Г = —naaU. Коэф­фициент подъемной силы такого крыла равен

Г — -Р°'Г _ _9тг„
________________ ________»^— Чгри'а ~ ^/Я(Х'

') Эта расходимость отсутствует, если вблизи задней кромки £i и £j об­ращаются в нуль как (а — х)^к, k> 1, т.е. если угловая точка контура у зад­него его края есть точка возврата.

ГЛАВА V

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ в жидкости

§ 49. Общее уравнение переноса тепла

В конце § 2 было указано, что полная система гидродинами­ческих уравнений должна содержать пять уравнений. Для жид­кости, в которой имеют место процессы теплопроводности и внутреннего трения, одним из этих уравнений является по-преж­нему уравнение непрерывности; уравнения Эйлера заменяются уравнениями Навье — Стокса. Что же касается пятого уравне­ния, то для идеальной жидкости им является уравнение сохра­нения энтропии (2,6). В вязкой жидкости это уравнение, разу­меется, не имеет места, поскольку в ней происходят необрати­мые процессы диссипации энергии.

В идеальной жидкости закон сохранения энергии выражается уравнением (6,1):

Слева стоит скорость изменения энергии единицы объема жид­кости, а справа — дивергенция плотности потока энергии. В вяз­кой жидкости закон сохранения энергии, конечно, тоже имеет место: изменение полной энергии жидкости в некотором объеме (в 1 сек.) должно быть по-прежнему равно полному потоку энергии через границы этого объема. Однако.плотность потока энергии выглядит теперь иным образом. Прежде всего помимо потока pv (о²/2 + ш), связанного с простым переносом массы жидкости при ее движении, имеется еще поток, связанный с про­цессами внутреннего трения. Этот второй поток выражается век­тором— (vo') с компонентами v_ta'_ik (см. § 16). Этим, однако, не

исчерпываются все дополнительные члены в потоке энергии.

Если температура жидкости не постоянна вдоль ее объема, то наряду с обоими указанными механизмами переноса энергии будет происходить перенос тепла также и посредством так на­зываемой теплопроводности. Под этим подразумевается непо­средственный молекулярный перенос энергии из мест с более высокой в места с более низкой температурой. Ок не связан с макроскопическим движением и происходит также и в непо­движной жидкости.

Обозначим через q плотность потока тепла, переносимого по­средством теплопроводности. Поток q связан некоторым обра­зом с изменением температуры вдоль жидкости. Эту зависимость можно написать сразу в тех случаях, когда градиент темпера­туры в жидкости не слишком велик; практически в явлениях теплопроводности мы почти всегда имеем дело именно с такими случаями. Мы можем тогда разложить q в ряд по степеням гра­диента температуры, ограничившись первыми членами разложе­ния. Постоянный член в этом разложении, очевидно, исчезает, поскольку q должно обращаться в нуль вместе с V7\ Таким об­разом, получаем:

q = —yST. (49,1)

Постоянная х называется теплопроводностью. Она всегда поло­жительна,— это видно уже из того, что поток энергии должен быть направлен из мест с более высокой в места с более низкой тем­пературой, т. е. q и V7" должны иметь противоположные направ­ления. Коэффициент х является, вообще говоря, функцией тем­пературы и давления.

Таким образом, полная плотность потока энергии в жидкости при наличии вязкости и теплопроводности равна сумме

pv (-|- + a>)-(vo-')-*vr.

Соответственно этому общий закон сохранения энергии выра­жается уравнением

■ж(гг+ ^div[^pv (4 + ^ш) - (^vo'>^{_х vr}] • <⁴⁹'²>

Это уравнение можно было бы выбрать в качестве послед­него из полной системы гидродинамических уравнений вязкой жидкости. Удобно, однако, придать ему другой вид, преобразо­вав его с помощью уравнений движения. Для этого вычислим производную по времени от энергии единицы объема жидкости, исходя из уравнений движения. Имеем:

д (pv², \ v² др. dv, де, др

Ж\—+Р^г)=1Г-д7+^уР-дГ + <>-дТ + ^гТГ-

Подставляя сюда dp/dt из уравнения непрерывности и dv/dt из уравнения Навье — Стокса, получим:

-щ- \ГГ + ^peJ = ~ Т ^{dlv pv} ~ Р <^{v V}> Т ~ ^vv + ^v' ~дхТ +

+ p-^--edlvpv.

Воспользуемся теперь термодинамическим соотношением

dz = Tds - pdV = Tds + -4 dp,

откуда

dt ¹ dt ⁺ p² dt ¹ dt p^{2 a,v}^P^v>-

Подставляя это и вводя тепловую функцию w — е + р/р, нахо­дим:

6s 6a'

dt ¹ "«*

Далее, из термодинамического соотношения dw = Т ds-\-dp/p имеем:

Vp == pVffi> — pTVs.

Последний же член в правой стороне равенства можно написать в виде

^da'ik д., v, dv₍, dv₍

Подставляя эти выражения, прибавляя и вычитая div(xVT'), по­лучим:

ьт irr +^ре)⁼ ~^div [^pv (т- + ^w) - <^У0'> - «vr] +

+ РТ (■§ + v Vs) - a'_ift |Hi - div (x VT). (49,3)

Сравнив это выражение для производной от энергии единицы объема с выражением (49,2), получим следующее уравнение:

9T(% + vVs) = a'_lk^-+div(xm (49,4)

Мы будем называть это уравнение общим уравнением переноса тепла. При отсутствии вязкости и теплопроводности его правая сторона обращается в нуль и получается уравнение сохранения энтропии (2,6) идеальной жидкости.

Нужно обратить внимание на следующее истолкование урав­нения (49,4). Стоящее слева выражение есть не что иное, как умноженная на рТ полная производная от энтропии по времени ds/dt. Последняя определяет изменение энтропии данной пере­двигающейся в пространстве единицы массы жидкости; Tds/dt есть, следовательно, количество тепла, получаемого этой едини­цей массы в единицу времени, а pTds/dt — количество тепла, от­несенное к единице объема. Из (49,4) мы видим поэтому, что количество тепла, получаемого единицей объема жидкости, есть

к

Первый член здесь представляет собой энергию, диссипируемую в виде тепла благодаря вязкости, а второй есть тепло, приноси­мое в рассматриваемый объем посредством теплопроводности.

Раскроем первый член в правой стороне уравнения (49,4), подставив в него выражение (15,3) для а\_к. Имеем:

, до₍ dv_{ / dv_f dv_k 2 dv_l \ dv_t dv₍

Легко проверить, что первый член может быть написан в виде

Ч (^д°_{, ^dvk ². jM² 2 \dx_k "i" d*, 3 °^ik дх₍) '

а во втором имеем:

dv. да, dv. dv.,,. _vo ^⁶'^ =?4^7-S(d.vv)-.

Таким образом, уравнение (49,4) приобретает вид

(ds \ ti / dv. dv. 2 dv,\²

РТ {_w + v у.) - div (к VD + -J + -g± - j b_lk ^) +

+ Udivv)². (49,5)

В результате необратимых процессов теплопроводности и внутреннего трения энтропия жидкости возрастает. Речь идет при этом, конечно, не об энтропии каждого элемента объема жидкости в отдельности, а о полной энтропии всей жидкости,

равной интегралу ^ ps dV. Изменение энтропии в единицу вре­мени определяется производной

С помощью уравнения непрерывности и уравнения (49,5) имеем: njr⁼р|г + ⁸ %=~ ^{s div} p^v - р^у?^s + -г^div <* ^vr> +

ri /dv, dv. 2 dv.\² I

Первые два члена дают в сумме — div(psv). Интеграл по объему от этого члена преобразуется в интеграл от потока энтропии psv по поверхности. Рассматривая неограниченный объем жидкости, покоящейся на бесконечности, мы можем стремить граничную поверхность на бесконечность; тогда подынтегральное выраже­ние в поверхностном интеграле обращается в нуль и интеграл исчезает. Интеграл от третьего члена преобразуется следующим образом:

1 г / xVT \ С х(7Т)²

Tdiv(xvr)dy = J div{-y-)dV +) T^{2 dV}-

Считая, что температура жидкости на бесконечности достаточно быстро стремится к постоянному пределу, преобразуем первый интеграл в интеграл по бесконечно удаленной поверхности, на которой VT = 0, так что интеграл тоже исчезает.

В результате получается:
д С fx (VT)² С i\ (dv,. dv. 2 dv, V

-\_9sdv=\-_Y^dv +\_w{-^+ -^_i-^b_iklJ-) dV +

+ ^(divwfdV. (49,6)

Первый член представляет собой увеличение энтропии благо­даря теплопроводности, а остальные два — увеличение энтропии, обусловленное внутренним трением.

Энтропия может только возрастать, т. е. сумма (49,6) должна быть положительна. С другой стороны, в каждом из членов этой суммы подынтегральное выражение может быть отлично от нуля даже при равенстве нулю двух других интегралов. Поэтому каж­дый из этих интегралов должен быть всегда положителен. От­сюда следует наряду с известной уже нам положительностью и и л также и положительность второго коэффициента вязкости £.

При выводе формулы (49,1) молчаливо подразумевалось, что поток тепла зависит только от градиента температуры и не за­висит от градиента давления. Это предположение, априори не очевидное, может быть оправдано теперь следующим образом. Если бы в q входил член, пропорциональный Vp, то в выраже­нии (49,6) для изменения энтропии прибавился бы еще член, содержащий под интегралом произведение VpVT. Поскольку это последнее может быть как положительным, так и отрицатель­ным, то и производная от энтропии по времени не была бы су­щественно положительной, что невозможно.

Наконец, необходимо уточнить изложенные выше рассужде­ния еще и в следующем отношении. Строго говоря, в термодина­мически неравновесной системе, каковой является жидкость при наличии в ней градиентов скорости и температуры, обычные оп­ределения термодинамических величин теряют смысл и должны быть уточнены. Подразумевавшиеся нами здесь определения за­ключаются прежде всего в том, что р, е и v определяются по-прежнему: р и ре есть масса и внутренняя энергия, заключен­ные в единице объема, a v есть импульс единицы массы жид­кости. Остальные же термодинамические величины определяются затем как те функции от р и е, которыми они являются в со­стоянии теплового равновесия. При этом, однако, энтропия s = s(e, р) уже не будет истинной термодинамической энтропией:

интеграл ^ ps dV не будет, строго говоря, той величиной, кото­рая должна возрастать со временем. Тем не менее, легко видеть, что при малых градиентах скорости и температуры в принятом нами здесь приближении s совпадает с истинной энтропией.

Действительно, при наличии градиентов в энтропии появ­ляются, вообще говоря, связанные с ними дополнительные (по отношению к s(p, е)) члены. На изложенных выше результатах, однако, могли бы сказаться лишь линейные по градиентам чле­ны (например, член, пропорциональный скаляру divv). Такие члены неизбежно могли бы принимать как положительные, так и отрицательные значения. Между тем они должны быть суще­ственно отрицательными, так как равновесное значение s = = s(p, е) является максимальным возможным. Поэтому разло­жение энтропии по степеням малых градиентов может содер­жать (помимо нулевого члена) лишь члены начиная со второго порядка.

Аналогичные замечания должны были быть по существу сде­ланы уже в § 15 (ср. примечание на стр. 66), так как уже на­личие градиента скорости является термодинамической нерав­новесностью. Именно, под давлением р, которое входит в выра­жение для тензора плотности потока импульса в вязкой жидкости, следует понимать ту функцию р —р(е,р), которой она является в состоянии теплового равновесия. При этом р не будет уже, строго говоря, давлением в обычном смысле слова, т. е. не будет совпадать с нормальной силой, действующей на элемент поверхности. В отличие от того, что было сказано выше об энтропии, здесь различие проявляется уже в величинах пер­вого порядка по малому градиенту: мы видели, что в нормаль­ной компоненте силы появляется наряду с р еще и член, пропор­циональный div v (в несжимаемой жидкости этот член отсут­ствует и там разница появляется лишь в членах более высокого порядка).

Дата добавления: 2014-11-07