Ol — V2X 43 страница

T\ —

T₀-^-f(R, P).

<-D

(55,2)

Температура и скорость испытывают заметное изменение на про­тяжении расстояний порядка размеров / тела. Поэтому оценка обеих сторон уравнения (55,3) дает

X (^ri - Т₀) vU²

I² с_рР '

Таким образом, приходим к результату, что при малых R

и²

т, — Г₀ = const -Р—, (55,4)

Ср

где const — численная постоянная, зависящая от формы тела. Отметим, что разность температур оказывается пропорциональ­ной квадрату скорости U.

Некоторые общие заключения о виде функции f (Р, R) в (55,2) можно сделать и в обратном предельном случае больших R, когда скорость и температура меняются только в узком по­граничном слое. Пусть б и б' — расстояния, на которых меняют­ся соответственно скорость и температура; б и б' отличаются друг от друга множителем, зависящим от Р. Количество тепла, выделяемое в пограничном слое в единицу времени благодаря вязкости, дается интегралом (16,3). Отнесенное к единице пло­щади поверхности тела, оно равно по порядку величины vp(C//6)²6 = vpU²/8. С другой стороны, это тепло должно быть равно теплу, теряемому телом и равному потоку

дТ Г, — т₀

Сравнив оба выражения, приходим к результату

Г,-Г₀ = -7^(Р). (55,5)

Ср

Таким образом, и в этом случае функция / оказывается не за­висящей от R; зависимость же ее от Р остается неопределенной.

Задачи

1. Определить распределение температуры в жидкости, совершающей пуазейлевское течение по трубе кругового сечения, стенки которой поддер­живаются при постоянной температуре 7V

Решение. В цилиндрических координатах с осью г по оси трубы имеем

*-с-2в[1-(-£-У].

где v — средняя скорость течения. Подстановка в (55,3) приводит к уравне­нию

1jL(*1Л = _ ^{1662 v} 2
г dr У dr) R* %cp ^T "

Решение этого уравнения, конечное при г = 0 и удовлетворяющее условию Т = То при г — R, есть

2. Определить разность температур между твердым шаром и обтекающей его жидкостью при малых числах Рейнольдса; теплопроводность шара пред­полагается большой.

Решение. Выбираем сферические координаты г, 9, ф с началом в цен­тре шара и полярной осью вдоль направления скорости и натекающего по­тока Вычисляя компоненты тензора dvi/дхц + dvk/dx_t с помощью формул (15,20) и формулы (20,9) для скорости жидкости, обтекающей шар, получаем уравнение (53,3) в виде

1 д (_г дТ \ 1 д (. _йдТ\ _

Т²' дг V- дг) ⁺ г² sin 9 59 l,^{sln 0} 59) ~

= _A-^[cos²9(j5- —+ —)_+7Г_|,

где

л ⁹ 2 ^Р

А = — и² —. 4 с_р

Ищем Г (г, 9) в виде

Г = /(г) cos² 9+ §(/•)

и получаем после отделения частей, зависящей и не зависящей от 9, два уравнения для f и g:

г²£" + 2л£' + 2/ = -Л^-.

Из первого получаем:

' ^— { 4r² г⁴ 12 г«J г³

(член вида const л² опускаем как не исчезающий на бесконечности), после чего второе приводит к решению

_ А (3 R² \ R* 1 R^s\ dR³ c₂R ⁸~~ 2 V2 г^{2 +} 3 г* ⁺ 18 г⁸) Зг^{3 +} г ^+Сз>

Постоянные Ci, с₂, с₃ определяются из условий

f ОТ

Т = const и \ — г² sin 9 с(9 = 0 при г = R, что эквивалентно требованию

НЯ) = о, £'(Я) + уПЯ) = 0;

на бесконечности должно быть Т = 7V Находим:

5 2

с, = — -g-Д c₂=-g-A сз = 7^,₀.

Для разности температур шара (T{ = T(R)) и жидкости (Г₀) получаем:

т,-Т - - Р — Г,-7-₀_ ₈ Р—•

Заметим, что найденное распределение температуры оказывается удовле­творяющим и условию дТ/дг = 0 при г — R, т.е. f'(R)= g'{R) = 0. По­этому оно является одновременно и решением той же задачи в случае малой теплопроводности шара.

уравнению

Ро = Pogr -f- const = —pogz + const, (56,2)

где координата z отсчитывается вертикально вверх.

В столбе жидкости высотой h гидростатический перепад дав­ления составляет pogh. Этот перепад приводит к изменению плотности на ~pg/i/c², где с — скорость звука (см. ниже (64,4)). Согласно условию, это изменение должно быть пренебрежимо, причем не только по сравнению с самой плотностью, но и по сравнению с ее тепловым изменением (56,1). Другими словами, должно удовлетворяться неравенство

gh/c² < 66, (56,3)

где в —характерная разность температур.

Начнем с преобразования уравнения Навье — Стокса, кото­рое при наличии -поля тяжести имеет вид

^- + (vV)v = --^- + vAv+g,

получающийся добавлением к правой стороне (15,7) действую­щей на единицу массы силы g. Подставим сюда р = ро + р', р = р₀ -f- р'. С точностью до малых первого порядка имеем:

P ~ Ро ^{+ p}o Pi⁹' или, подставляя (56,1) и (56,2):

■a-i+-£+«n».

Подставляя это выражение в уравнение Навье-Стокса и опуская индекс у ро, получаем окончательно:

-g- + (vV)v = -V-£- + vAv-B_gr. (56,4)

В уравнении теплопроводности (50,2) член, содержащий вяз­кость, при свободной конвекции, как можно показать, мал по сравнению с другими членами уравнения и потому может быть опущен. Таким образом, получаем:

^дГ +vV7" = xA7". (56,5)

dt

Уравнения (56,4) и (56,5) вместе с уравнением непрерывности divv = 0 представляют собой полную систему уравнений, опи­сывающих свободную конвекцию (Л. Oberbeck, 1879; /. Boussi-nesq, 1903).

Для стационарного движения уравнения конвекции прини­мают вид

(vv)v = -V-£--gpr + vAv, (56,0)

vvr = xAr, (56,7)

divv = 0. (56,8)

В эту систему пяти уравнений, определяющих неизвестные функции v, р'/р, Т', входят три параметра: v, % и gp\ Кроме того, в их решение входят характерная длина h и характерная разность температур 6. Характерная скорость теперь отсут­ствует, поскольку никакого вынужденного посторонними причи­нами движения нет, и все течение жидкости обусловливается ее неравномерной нагретостыо. Из этих величин можно соста­вить две независимые безразмерные комбинации (напомним, что температуре надо при этом приписывать особую размерность — см. § 53) В качестве них обычно выбирают число Прандтля Р = v/% и число Ралея '):

Я-ф- (5W)

Число Прандтля зависит только от свойств самого вещества жидкости; основной же характеристикой конвекции как таковой является число Рэлея.

Закон подобия для свободной конвекции гласит

^v==x^f (т- я, Р). T = ef(^r_r, я, р). (56,10)

Два течения подобны, если их числа I и Р одинаковы. Тепло­передачу при конвекции в поле тяжести характеризуют числом Нуссельта, по-прежнему определенным согласно (53,7). Оно яв­ляется теперь функцией только от 9L и Р.

Конвективное движение может быть как ламинарным, так и турбулентным. Наступление турбулентности определяется чис­лом Рэлея — конвекция становится турбулентной при очень больших значениях 91.

Задачи

1. Привести к решению обыкновенных дифференциальных уравнений за­дачу об определении числа Нуссельта при свободной конвекции у плоской вертикальной стенки. Предполагается, что скорость и разности температур за­метно отличны от нуля лишь в тонком пограничном слое у поверхности стен­ки (Е. Pohlhausen, 1921).

') В литературе используется также число Гроссгофа:

Решение. Выбираем начало координат на нижнем краю стенки, ось х — вертикально в ее плоскости, а ось у — перпендикулярно стенке. В погра­ничном слое давление не меняется вдоль оси у (ср. § 39) и потому везде равно гидростатическому давлению ро (х), так что р' = 0. С обычной для пограничного слоя точностью уравнения (56,6—8) принимают вид

dv_x, dv_x d'vx

дТ дТ д²Т dv_x dv_y

^Vx~dx~ ^+Vy^y^==X ~ду^г' ~дТ ⁺ ~ду~⁼⁼°

(1)

с граничными условиями

_Vx = v_y = 0, Т = T_t при у = 0; V* — 0, Г = То при у — оо

_g-_QW__JL_. _G = ^ii^i^l (2> ^Ъ " t,3\ 1/4.,2 ^v '

(Т,—температура стенки, Го— температура жидкости вдали от стенки). Эти уравнения могут быть преобразованы в обыкновенные дифференциальные уравнения введением в качестве независимой переменной величины

У г. gP (Г, - Гр) я³

(4хЛ³

«*=-^g^1/2V*<p'(sO, Г - Г, - (Г, - Го) в (£). (3)

Тогда последнее из уравнений (1) дает:

VGU4

^V»= (4xh*)W W-W>

а первые два дают уравнения для функций ф(|) и 8(£):

ф'" + 3фф"-2ф'² + в = 0, 6" + ЗРф6' = 0. (4)

Из (3—4) следует, что толщина пограничного слоя б ~ (xh³/G)^1/l. Уcлoвиe^ применимости решения, S<A, выполняется при достаточно больших значе­ниях G.

Полный поток тепла (отнесенный к единице площади стенки) h

1/4

Число Нуссельта

N = f (P)G¹'⁴,

где функция f(P) определяется решением уравнений (4).

2. Горячая турбулентная затопленная струя газа изгибается под влиянием поля тяжести; требуется определить ее форму (Г. Н. Абрамович, 1938).

Решение. Пусть Т' — некоторое среднее (по сечению струи) значение разности температур в струе и в окружающем газе, и — некоторое среднее значение скорости газа в струе, a I — расстояние вдоль струи от точки ее выхода (I предполагается большим по сравнению с размерами выходного отверстия струи). Условие постоянства потока тепла Q вдоль струи гласит!

Q ~ t>c_pT'uR² = const, а поскольку радиус турбулентной струи пропорционален / (ср. § 36), то

T'ul² = const — (1)

(заметим, что без учета поля тяжести и will — см. (36,3)—и из (1) сле­дует, что Т' с/з l/l).

Вектор потока импульса через поперечное сечение струи пропорционален pu²R²n ~ ри^г1^гп (п — единичный вектор вдоль направления струи). Его го­ризонтальная составляющая постоянна вдоль струи:

иЧ² cos 8 = const (2)

(6 — угол между п и горизонталью), а изменение вертикальной компоненты определяется действующей на струю подъемной силой. Последняя пропор­циональна

Ср и

Поэтому имеем:

— (IWslnQ)--^.. (3)

dl 0CpU

Ввиду (2) отсюда следует

---- 77— = COnst / VCOS 9,

dl

откуда окончательно

J (cos 9)

{8o определяет направление струи в точке ее выхода).

В частности, если на всем протяжении струи изменение угла 9 незначи­тельно, то (4) дает

9 — 8₀ = const • I².

Это значит, что струя имеет форму кубической параболы, в которой откло­нение d от прямоугольной траектории d — const • P.

3. От неподвижного горячего тела поднимается вверх турбулентная (чис­ло Рэлея велико) струя нагретого газа. Определить закон изменения скорости и температуры струи с высотой (#. Б. Зельдович, 1937).

Решение. Как и в предыдущем случае, радиус струи пропорционален расстоянию от источника, и аналогично (1) имеем:

T'uz² = const,

а вместо (3)

d, „ const

dz и

(z — высота над телом, предполагающаяся большой по сравнению с его раз­мерами). Интегрируя последнее уравнение, найдем:

и во г-¹*.

а для температуры соответственно

4. То же для ламинарной свободной восходящей конвективной струи (Я. Б. Зельдович, 1937).

Решение. Наряду с соотношением

T'uR² = const,

выражающим постоянство потока тепла, имеем соотношение

u²/z ~ vu/R² ~ gpT',

вытекающее из уравнения (56,6). Из этих соотношений находим следующие законы изменения радиуса, скорости и температуры струи с высотой:

Rco'y'z, и — const, 7" оо l/z.

Заметим, что число _

Я со T'R³ oo-Vz

растет с высотой; поэтому на некоторой высоте струя становится турбу­лентной.

§ 57. Конвективная неустойчивость неподвижной жидкости

Если в заданной конфигурации жидкости и твердых стенок постепенно увеличивать число Рэлея, то наступит момент, когда состояние покоя жидкости становится неустойчивым по отноше­нию к сколь угодно малым возмущениям¹). В результате воз­никает конвекция, причем переход от режима чистой теплопро­водности в неподвижной жидкости к конвективному режиму со­вершается непрерывным образом. Поэтому зависимость числа Нуссельта от М при этом переходе не испытывает скачка, а лишь излом.

Теоретическое определение критического значения &_KV долж­но производиться по схеме, уже объясненной в § 26. Повторим ее здесь применительно к данному случаю.

Представим Т' и р' в виде

Г = Г; + т, p' = p'₀ + pw, (57; 1)

где T'_Q и р'₀ относятся к неподвижной жидкости, а т и w — воз­мущение. Т'₀ и р' удовлетворяют уравнениям

., d.²T_n dp\

Из первого имеем T'_Q = — Az, где А —постоянная; в интересую­щем нас случае подогрева жидкости снизу эта постоянная А >0.

В уравнениях (56,4—5) малыми величинами являются v (не­возмущенная скорость отсутствует), т и w. Опустив квадратич-

') Не смешивать эту неустойчивость с конвективной неустойчивостью, о которой шла речь в § 281 ные члены и рассматривая возмущения, зависящие от времени как е~^ш, получим уравнения:

— шу = — W + ^vAv — fixg, — шт —Лу_г = хДт, divv = 0.

Целесообразно записать эти уравнения в безразмерном виде, введя следующие единицы измерения всех фигурирующих в них величин: для длины, частоты, скорости, давления и темпера­туры это будут соответственно h, v/h², v/h, pv²/h² и Ahv/%. Ниже в этом параграфе (а также в задачах к нему) все буквы обо­значают соответствующие безразмерные величины. Уравнения принимают вид:

— шу = — Vw + Av + (57,2)

— /сотР = Ат + о_г, (57,3)

divv = 0 (57,4)

(п — единичный вектор в направлении оси г,— вертикально вверх). Здесь ясно выступают безразмерные параметры 5? и Р. Если граничащие с жидкостью твердые поверхности поддержи­ваются при постоянных температурах, то на них должны выпол­няться условия ¹)

v = 0, т = 0. (57,5)

Уравнения (57,2—4) с граничными условиями (57,5) опреде­ляют спектр собственных частот со. При 91 < 5?_Кр их мнимые части у = Im со < 0 и возмущения затухают. Значение 52_Кр опре­деляется моментом, когда (по мере увеличения Ж) впервые по­является собственное значение частоты с у > 0; при Я = 5?_кр значение у проходит через нуль.

') Мы рассматриваем простейшие граничные условия, отвечающие иде­ально теплопроводящим стенкам. При конечной теплопроводности стенок к системе уравнений должно было бы быть добавлено еще и уравнение рас­пространения тепла в стенке. Мы не рассматриваем также случаев, когда жидкость имеет свободную поверхность. В таких случаях, строго говоря, должна была бы учитываться деформация поверхности в результате возму­щения, и появляющиеся при этом силы поверхностного натяжения. ²) В этом выводе и дальнейшей формулировке вариационного принципа мы следуем В. С, Сорокину (1953).

Задача о конвективной неустойчивости неподвижной жид­кости обладает той спецификой, что все собственные значения /со вещественны, так что возмущения затухают или усиливаются монотонно, без колебаний. Соответственно, и возникающее в результате неустойчивости неподвижной жидкости устойчивое движение стационарно. Покажем это для жидкости, заполняю­щей замкнутую полость, с граничными условиями (57,5) на ее стенках²).

Умножим уравнения (57,2) и (57,3) соответственно на v* и т* и проинтегрируем их по объему полости. Проинтегрировав чле­ны v*Av и т*Дт по частям ') и заметив, что интегралы по поверх­ности полости обращаются в нуль в силу граничных условий, получим:

- ю J j v |² dV = J (-1 rot v |² + Mxvl) dV,

(57,6)

- icoP J I т I² dV = J (-1 yx |² + r'v_z) dV.

Вычитая из этих равенств их комплексно-сопряженные, находим!

— * (ю + ©•) J | v |² dV = (то; - х\) dV,

- i (со + о*) Р J j т |² dV = - $ (то; - т*у_г) dl/.

Наконец, умножив второе равенство на 01 и сложив с первым, получим:

Re со ^ (| v |² + MP | т |²) dV — 0.

В виду существенной положительности интеграла, отсюда сле­дует искомый результат Re со = О²). Отметим, что при А < 0 (жидкость подогревается сверху), чему формально отвечает Ы < 0, интеграл мог бы обращаться в нуль и /со могло бы быть комплексным.

Вернемся к равенствам (57,6). Умножив теперь второе на 9L и сложив с первым, получим для инкремента у = —ico следую­щее выражение:

') С использованием равенств v* Av = — v* rot rot v = div [v* rot v] — | rot v I², t* Ax = div (t* Vt) — I Vt |², v Aw = div (wv). ²) С математической точки зрения, изложенный вывод сводится к дока­зательству самосопряженности системы уравнений (57, 2—4). С физической точки зрения, происхождение этого результата можно пояснить следующими соображениями. Пусть при возмущении элемент жидкости смещается, напри­мер, наверх. Попав в окружение менее нагретой жидкости, он будет охла­ждаться за счет теплопроводности, оставаясь все же более нагретым, чем окружающая среда. Поэтому действующая на него сила плавучести будет направлена вверх и элемент будет продолжать движение в том же направ­лении — затухающее или ускоряющееся в зависимости от соотношения между градиентом температуры и диссипативными коэффициентами. В обоих слу­чаях ввиду отсутствия «возвращающей силы» колебания не возникают. От­метим, что при наличии свободной поверхности возвращающая сила возни­кает за счет поверхностного натяжения, стремящегося сгладить деформиро­ванную поверхность; при учете этой силы сделанные утверждения уже не справедливы.

-y = J/N, (57,7)
где / и Л' обозначают интегралы

/ = J [(rotv)² + 9t (vt)²-29lxv_z\dV, N =\(v² + 9lPx²)dV (57,8)

(функции v и т предполагаются вещественными). Как изве­стно, задача о собственных значениях самосопряженных линей­ных дифференциальных операторов допускает вариационную формулировку, основанную именно на выражении вида (57,7—8). Рассматривая / и N как функционалы по отношении к функ­циям v и т, потребуем экстремальности / при дополнительных условиях divv = 0 и N — \; последнее играет роль «условия нормировки». По общим правилам вариационного исчисления, составляем вариационное уравнение

6/ + y6N — J 2а>6 (div v) dV = 0, (57,9)

где константа у и функция w(r) играют роль лагранжевых не­определенных множителей. Вычислив входящие сюда вариации (произведя при этом интегрирования по частям с учетом гра­ничных условий (57,5)) и приравнивая нулю выражения при не­зависимых вариациях 6v и от, действительно получим уравнения (57,2—3). Значение /, вычисленное по поставленной таким об­разом вариационной задаче, определяет согласно (57,7) наи­меньшее значение —у = —уи т. е. инкремент наиболее быстро усиливающихся (или декремент наименее быстро убывающих — в зависимости от знака у) возмущений.

По смыслу его вывода, критическое значение 5?_кр опреде­ляет границу устойчивости по отношению к бесконечно малым возмущениям. Но для задачи о конвективной устойчивости не­подвижной жидкости оказывается, что это число является в тоже время границей устойчивости по отношению к любым ко­нечным возмущениям¹). Другими словами, при 91 < 5?_КР не существует никаких незатухающих со временем решений урав­нений движения, за исключением состояния покоя. Покажем это (В. С. Сорокин, 1954).

Для конечных возмущений уравнения движения должны быть написаны в виде

^L=__Vtw + Av + ^Tn-(vv)v, p|j-=At+u_z-Pvvt, (57,10)

отличающемся от (57,2—3) нелинейными членами. Проделаем с этими уравнениями в точности те же операции, которые были произведены выше с уравнениями (57,2—3) при выводе соотно-

') Говоря о возмущениях конечной интенсивности, мы имеем здесь в виду возмущения, для которых в уравнениях (56,4—5) нельзя пренебрегать нелинейными членами, но в то же время по-прежнему удовлетворяются усло­вия, поставленные при выводе этих уравнений.

шений (57,6) и (57,7). Ввиду равенства divv = 0, нелинейные члены сводятся к полным дивергенциям:

v (vv) v = div (4r ^v)» ^x (^VV) т = div [~ v)

и при интегрировании выпадают. Поэтому мы получим в ре­зультате соотношение

2 dt ~ ^J>

отличающееся от равенства yN = —/ (57,7) лишь тем, что вме­сто произведения yN теперь стоит производная по времени. В силу сформулированного выше вариационного принципа, для любых функций v и т будет —J ^ yiN. Поэтому

откуда

N(/)<JV(0)e²v.<. (57,11)

Но в подкритической (91 < 52_кр) области все полученные по ли­нейной теории инкременты, в том числе наибольший из них уь отрицательны. Поэтому из (57,11) следует, что N(t)-*-0 при t-^-oo, а ввиду существенной положительности подынтеграль­ного выражения в N стремятся к нулю также и сами функции v и т.

Вернемся к вопросу о вычислении 91_кр. Поскольку все соб­ственные значения ко вещественны, то равенство у = 0 при М — Мкр означает, что и и = 0. Значение Я_кр определяется тогда как наименьшее из собственных значений параметра 91 в си­стеме уравнений

Av — Ww + ^тп = О,

(57,12)

Ат = — v_z, div v = О

(эта задача тоже допускает вариационную формулировку — см. задачу 2). Обратим внимание на то, что ни сами уравнения (57,12), ни граничные условия к ним не содержат числа Р. По­этому и определяемое ими критическое число Рэлея для задан­ной конфигурации жидкости и твердых стенок не зависит от ве­щества жидкости.

Наиболее простой и в то же время теоретически важной яв­ляется задача¹) об устойчивости слоя жидкости между двумя неограниченными горизонтальными плоскостями, из которых

') Впервые поставленная экспериментально Бенаром (Н. Вёпаг, 1900) и рассматривавшаяся теоретически Рэлеем (Rayleigh, 1916).

верхняя поддерживается при более низкой температуре, чем нижняя.

Для этой задачи удобно привести систему (57,12) к одному уравнению¹). Применив к первому уравнению операцию rotrot= = Vdiv — Д, взяв затем его z-компоненту и воспользовавшись двумя другими уравнениями, получим:

Д³т = $Д₂т, (57,13)

(где А₂ = д²/дх² + д²/ду²—двухмерный лапласиан). Граничные условия на обоих плоскостях:

т = О, v_z = О, = 0 при z = 0, 1

(последнее эквивалентно, ввиду уравнения непрерывности, ус­ловиям Vx = v_y = 0 при всех х, у). Ввиду второго из уравнений (57,12) условия для и_г можно заменить условиями для высших производных от т:

ill _ n i!i — ь² -Ё! — п

дг^г ~ ^U> дг^{3 К} dz ~~~

Ищем т в виде

% = f(z)<p(x, у), <p=e'^kr, (57,14)

(где к — вектор в плоскости х, у) и получаем для f(z) уравнение

{-£r-k²)³f+m=o.

Общее решение этого уравнения представляет собой линейную комбинацию функций ch pz и sh pz, где

ii² = A³ —Л"³^^!

') Вещественность т для этой задачи была доказана Пелью и Саутвел-лом (A- Pellew, R. V. Southwell, 1940). ²) Детали вычислений можно найти в книге: Г. 3. Гершуни, Е. М. Жу-ховицкий, Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости, «Наука», 1972, я также в указанных на с. 145 книгах С, Чандрасекхара и Дразина и Рейда,

с тремя различными значениями корня. Коэффициенты этой комбинации определяются граничными условиями, приводящими к системе алгебраических уравнений, условие совместности ко­торых дает трансцендентное уравнение, корни которого и опре­деляют зависимости k=k_n(9t), n = 1, 2,.... Обратные функ­ции Я. — Яп{к) имеют минимум при определенных значениях k\ наименьший из этих минимумов и дает значение $!_кр²). Оно оказывается равным 1708, причем соответствующее значение волнового числа А_Кр = 3,12 в единицах 1/Л (Я. Jeffreys, 1908).

Таким образом, горизонтальный слой жидкости толщины h с направленным вниз градиентом температуры А становится не­устойчивым при')

>-1708. (57,15)

При 91 > 3?кр в жидкости возникает стационарное конвективное движение, периодическое в плоскости ху. Все пространство ме­жду плоскостями разделяется на прилегающие друг к другу оди­наковые ячейки, в каждой из которых жидкость движется по замкнутым траекториям, не переходя из одной ячейки в другую. Контуры этих ячеек на граничных плоскостях образуют в них некоторую решетку. Значение k_Kp определяет периодичность, но не симметрию этой решетки; линеаризованные уравнения движе­ния допускают в (57,14) любую функцию <p(jc,у), удовлетворяю­щую уравнению (Аг — k²) ср = 0. Устранение этой неоднознач­ности в рамках линейной теории невозможно. По-видимому, должна осуществляться «двухмерная» структура движения, в которой на плоскости ху имеется лишь одномерная периодич­ность— система параллельных полос²).

Задачи

I. Найти критическое число Рэлея для возникновения конвекции в жид­кости в вертикальной цилиндрической трубе, вдоль которой поддерживается постоянный градиент температуры; стенки трубы а) идеально теплопрово-дящие, или б) теплоизолирующие (Г. А Остроумов, 1946).

') При заданном значении А это условие во всяком случае выполняется при достаточно большом ft. Во избежание недоразумений следует напомнить, что речь идет здесь лишь о таких высотах ft, при которых несущественно изменение плотности жидкости под влиянием поля тяжести. Поэтому к высо­ким столбам жидкости этот критерий неприменим В таком случае следует применять критерий, полученный в § 4, из которого видно, что конвекция может отсутствовать при любой высоте столба, если градиент температуры не слишком велик. ²) Теоретические указания состоят в том, тго в надкритической области вблизи $!_кр лишь эта структура оказывается устойчивой по отношению к ма­лым возмущениям; «трехмерные» же призматические структуры оказываются неустойчивыми. Экспериментальные результаты существенно зависят от усло­вий опыта (в том числе от формы и размеров боковых стенок сосуда) и не однозначны. Наблюдавшаяся в ряде случаев трехмерная гексагональная структура связана, по-видимому, с влиянием поверхностного натяжения на верхней свободной поверхности, и с температурной зависимостью вязкости жидкости (в изложенной теориии вязкость v рассматривалась, конечно, как постоянная).

Решение. Ищем решение уравнений (57,2—4), в котором конвектив­ная скорость v направлена везде по оси трубы (ось г), а вся картина дви­жения постоянна вдоль этой оси, т. е. величины v_z = о, т, dw/дг зависят только от координат в плоскости сечения трубы ¹). Уравнения принимают вид

dw dw _n. _. dw.

-г— = —— = 0, Д₂ч = — 5?т + ^—, Д₂т =»
dx ду dz

(число Я — gpAR*/%v, R — радиус трубы). Из первых двух уравнений сле­дует, что dw/dz — const, а исключив из остальных уравнений т, получим

Д²,» == 9iv.

На стенках трубы (г = 1) должны удовлетворяться условие v = 0 и усло­вие т = 0 (в случае а) или dx/dr = 0 (в случае б). Кроме того, должен быть равен нулю полный поток жидкости через поперечное сечение трубы. Уравнение имеет решения вида

COS Яф./n (kr), COS Пф./n (kr),

где J„, I„— функции Бесселя вещественного и мнимого аргумента, a ft⁴=32; г, ф — полярные координаты в плоскости сечения трубы. Моменту возникно­вения конвекции отвечает то решение, которому соответствует наименьшее значение 91. Оказывается, что таковым является решение с п — 1:

Дата добавления: 2014-11-07