Ol — V2X 46 страница

При наличии адсорбированного вещества коэффициент по­верхностного натяжения а является функцией поверхностной концентрации этого вещества (количество вещества на единице площади поверхности), которую мы обозначим посредством у. Если у меняется вдоль поверхности, то вместе с ней функцией координат точки поверхности является также и коэффициент а.

В связи с этим в граничном условии на поверхности жидкости добавляется тангенциальная сила, о которой уже шла речь в конце § 61 (условие (61,14)). В данном случае градиент а вы­ражается через градиент поверхностной концентрации, так что действующая на поверхность тангенциальная сила равна

f*=|j-VY. (63,1)

В § 61 уже было указано, что граничное условие (61,14) с уче­том этой силы может быть выполнено только у вязкой жид­кости. Отсюда следует, что в тех случаях, когда вязкость жид­кости мала и несущественна для рассматриваемого явления, нет необходимости также и в учете наличия пленки.

Для определения движения жидкости, покрытой пленкой, надо добавить к уравнениям движения жидкости с граничным условием (61,14) еще одно уравнение соответственно тому, что мы имеем теперь на одну неизвестную величину (поверхностная концентрация у) больше. Этим дополнительным уравнением яв­ляется уравнение непрерывности, выражающее собой неизмен­ность общего количества адсорбированного вещества в пленке. Конкретный вид этого уравнения зависит от формы поверхности. Если поверхность плоская, то оно имеет, очевидно, вид

T + ^<^)+^Kv) = 0, (63,2)

где все величины берутся на поверхности жидкости (плоскость х, у выбрана в плоскости этой поверхности).

Решение задач о движении жидкости, покрытой адсорбцион­ной пленкой, существенно упрощается в тех случаях, когда плен­ку можно считать несжимаемой, т. е. можно считать, что пло­щадь каждого элемента поверхности пленки остается при дви­жении постоянной.

Примером того, насколько существенным в гидродинамиче­ском отношении может оказаться наличие адсорбционной плен­ки, является движение пузырька газа в вязкой жидкости Если на поверхности пузырька никакой пленки нет, то наполняющий его газ тоже приходит в движение, и сила сопротивления, испы­тываемая пузырьком со стороны жидкости, оказывается отлич­ной от той, которую испытывал бы твердый шарик того же ра­диуса (см. задачу 2 § 20). Если же пузырек покрыт пленкой ад­сорбированного вещества, то прежде всего непосредственно из соображений симметрии ясно, что пленка остается при движе­нии пузырька неподвижной. Действительно, движение в ней могло бы совершаться только по поверхности пузырька вдоль меридианов; в' результате происходило бы непрерывное накап­ливание вещества пленки у одного из полюсов пузырька (внутрь газа или жидкости адсорбированное вещество не проникает),что невозможно. Вместе со скоростью пленки должна быть равной нулю и скорость газа на поверхности пузырька, а при таких граничных условиях останется неподвижным вообще весь газ внутри пузырька. Таким образом, покрытый пленкой пузырек будет двигаться как твердый шарик и, в частности, испытывае­мая им сила сопротивления (при малых числах Рейнольдса) будет определяться формулой Стокса.

Задачи

1. Два сосуда соединены глубоким длинным каналом с плоско-параллель­ными стенками (ширина канала а, длина I). Поверхность жидкости в сосудах и в канале покрыта адсорбированной пленкой, причем поверхностные концен­трации Yi ^и Ya пленки в обоих сосудах различны, в результате чего вблизи поверхности жидкости в канале возникает движение. Определить количество переносимого при этом движении вещества пленки.

Решение. Выбираем плоскость одной из стенок канала в качестве пло­скости х, г, а поверхность жидкости — в качестве плоскости х, у, так, что ось х направлена вдоль длины канала; области жидкости соответствуют г < 0. Градиент давления отсутствует, так что уравнение стационарного дви­жения жидкости (ср. § 17) есть

^а2а- + ^ = о, (1)

ду² дг

где v есть скорость жидкости, направленная, очевидно, по оси х. Вдоль дли-

d\ тт

ны канала имеется градиент концентрации На поверхности жидкости

в канале имеет место граничное условие

d° da

ч-^-аГ ^{при г = 0}- <?>

На стенках канала жидкость должна быть неподвижна, т. е.

v = 0 при у = 0, а. (3)

Глубину канала считаем бесконечной, и потому

v = 0 при г-^—оо. (4)

Частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими условиям (3) и (4), являются

const sin <2я + 1) ехр (^(2я+^1)я г) с целыми п. Условию (2) удовлетворяет сумма

,. °° sin (2я + 1) ехр

__ 4а da V^-» ^v ' а ' а

тш² dx Zj

трт² dx Zj (2л + l)²
n=0

Количество переносимого (в единицу времени) вещества пленки равно

0 \а-0 /

ВЛИЯНИЕ АДСОРБИРОВАННЫХ ПЛЕНОК НА ДВИЖЕНИЕ

(движение происходит в направлении увеличения а). Величина Q должна

быть, очевидно, постоянной вдоль канала. Поэтому можно написать:

I а₁

da ^ 1 f da, if,

y — _==C0nst^_T\_j-₁₇yd_X = _T J у da,

0 di

где C4i = a(vi), аг = а(уа), и предполагается, что ai > a₂. Таким образом, имеем окончательно

8а²

\n=0 / а_г а₂

2. Определить коэффициент затухания капиллярных волн на поверхности жидкости, покрытой адсорбированной пленкой.

Решение. Если вязкость жидкости не слишком велика, то растягиваю­щие (тангенциальные) силы, действующие на пленку со стороны жидкости, малы, и поэтому пленку можно рассматривать как несжимаемую.

Соответственно этому можно вычислять диссипацию энергии как дисси­пацию вблизи твердой стенки, т.е. по формуле (24,14). Написав потенциал скорости в виде

получим для диссипации, отнесенной к единице площади поверхностна

8 ' ^ти' *

Полная же энергия (тоже отнесенная к единице площади) есть

-------- Р..

2k ' ^VTU' •

Коэффициент затухайия равен (используем соотношение (62,3));

Y =

2y2W⁶ 2У2~р³'⁴

Отношение этой величины к коэффициенту затухания капиллярных волн на чистой поверхности жидкости (задача 2, § 62) равно

1 / ар \'^/4 4 У2" I Ат)²)

и велико по сравнению с единицей, если только длина волны не чрезмерно мала. Таким образом, наличие адсорбированной пленки на поверхности жид-кости приводит к значительному увеличению коэффициента затухания волн.

ГЛАВА VIII

ЗВУК

§ 64. Звуковые волны

Переходя к изучению движения сжимаемой жидкости (или газа), мы начнем с исследования малых колебаний в ней; коле­бательное движение с малыми амплитудами в сжимаемой жид­кости называют звуковыми волнами. В каждом месте жидкости в звуковой волне происходят попеременные сжатия и разре­жения.

В силу малости колебаний в звуковой волне скорость v в ней мала, так что в уравнении Эйлера можно пренебречь членом (vV)v. По этой же причине относительные изменения плотности и давления в жидкости тоже малы. Мы будем писать перемен­ные р и р в виде

Р = Ро + р', Р = Ро + р', (64,1)

где ро, ро — постоянные равновесные плотность и давление жид­кости, а р', р' — их изменения в звуковой волне (р' <С ро, р' ■< Ро). Уравнение непрерывности

-|- + divpv = 0

при подстановке в него (64,1) и пренебрежении малыми вели­чинами второго порядка (р', р', v надо при этом считать малыми величинами первого порядка) принимает вид

-^ + Podivv = 0. (64,2)

Уравнение Эйлера

|l ₊ (W)v=-^-в том же приближении сводится к уравнению

Условие применимости линеаризованных уравнений движе­ния (64,2) и (64,3) для распространения звуковых волн заклю­чается в малости скорости движения частиц жидкости в волне по сравнению со скоростью звука: и<с. Это условие можно по­лучить, например, из требования р' ■< р₀ (см. ниже формулу (64,12)).

Уравнения (64,2) и (64,3) содержат неизвестные функции v, р', р'. Для исключения одной из них замечаем, что звуковая волна в идеальной жидкости является, как и всякое другое дви­жение в такой жидкости, адиабатическим. Поэтому малое изме­нение р' давления связано с малым изменением р' плотности уравнением

р'=Шу- <⁶⁴-⁴>

Заменив с его помощью р' на р' в уравнении (64,2), получим:

^+4ia^divv==o- ^(б4-⁵⁾

Два уравнения (64,3) и (64,5) с неизвестными v и р' полностью описывают звуковую волну.

Для того чтобы выразить все неизвестные величины через одну из них, удобно ввести потенциал скорости согласно v = «= grad ф. Из уравнения (64,3) получим равенство

Р' = -9%> (64,6)

связывающее р' с ф (индекс у р₀ и ро здесь и ниже мы будем для краткости опускать). После этого найдем из (64,5) уравне­ние

д²<р di²

-с²Дф=0, (64,7)

которому должен удовлетворять потенциал ф; здесь введено обо­значение

Уравнение вида (64,7) называется волновым. Применив к (64,7) операцию grad, найдем, что такому же уравнению удовлетворяет каждая из трех компонент скорости v, а взяв производную по времени от (64,7), найдем, что волновому уравнению удовлетво­ряет и давление р' (а потому и р').

Рассмотрим звуковую волну, в которой все величины зави­сят только от одной из координат, скажем, от х. Другими сло­вами, все движение однородно в плоскости у, г; такая волна называется плоской. Волновое уравнение (64,7) принимает вид

Для решения этого уравнения вводим вместо х, t новые пере­менные

£ = х — ct, ц = х + ci.

Легко убедиться в том, что в этих переменных уравнение (64,9) принимает вид

дцд1 ^и*

Интегрируя это уравнение по |, находим:

где Р(ц)—произвольная функция. Интегрируя еще раз, получим ф1 =Ы1) + /2(т,)> ^гДе fi и /₂ — произвольные функции. Таким образом,

<P = h(x-ct)+f₂(x + ct). (64,10)

Функциями такого же вида описывается распределение также и остальных величин (р', р', v) в плоской волне.

Будем говорить для определенности о плотности. Пусть, на­пример, /г=0, так что p' = fi(x — ct). Выясним наглядный смысл этого решения. В каждой плоскости х = const плотность меняется со временем; в каждый данный момент плотность раз­лична для разных х. Очевидно, что плотность одинакова для координат х и моментов времени t, удовлетворяющих соотноше­ниям х — ct = const, или

х = const -f- ct.

Это значит, что если в некоторый момент г = 0 в некоторой точ­ке жидкости ее плотность имеет определенное значение, то че-. рез промежуток времени t то же самое значение плотность имеет на расстоянии ct вдоль оси х от первоначального места (и то же самое относится ко всем остальным величинам в волне). Мы можем сказать, что картина движения распространяется в среде вдоль оси х со скоростью с, называемой скоростью звука.

Таким образом, f\(x — ct) представляет собой, как говорят, бегущую плоскую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х. Очевидно, что f₂ (х + ct) представляет собой волну, распространяющуюся в противоположном, отрицательном, направлении оси х.

Из трех компонент скорости v = grad9 в плоской волне от­лична от нуля только компонента v_x = dy/dx. Таким образом, скорость жидкости в звуковой волне направлена вдоль распро­странения волны. В связи с этим говорят, что звуковые волны в жидкости являются продольными.

В бегущей плоской волне скорость v_x = v связана с давле­нием р' и плотностью р' простыми соотношениями. Написав ф = f(x — ct), имеем

Сравнив эти выражения, находим:

(64,П)

Подставляя сюда согласно (64,4) р' = с²р', находим связь ме­жду скоростью и изменением плотности:

v=^~. (64,12)

Укажем также связь между скоростью и колебаниями тем­пературы в звуковой волне. Имеем Т = (dT/dp)_sp' и, воспользо­вавшись известной термодинамической формулой

и формулой (64,11), получим

r-=^-v, (64,13)

Ср

где В = -^r ("§f") ~ температурный коэффициент расширения.

Формула (64,8) определяет скорость звука по адиабатической сжимаемости вещества. Последняя связана с изотермической сжимаемостью известной термодинамической формулой

Вычислим скорость звука в идеальном (в термодинамическом смысле слова) газе. Уравнение состояния идеального газа гласит

г р Ц.

где R — газовая постоянная, а ц. — молекулярный вес. Для ско­рости звука получим выражение

^дДт^{1, (64}'^15>

') Полезно обратить внимание на то, что скорость звука в газе порядка величины средней тепловой скорости молекул. ²) Выражение для скорости звука в газе в виде с² = р/р было впервые получено Ньютоном (1687). Необходимость введения в это выражение мно~ жителя у была показана Лапласом.

где посредством у обозначено отношение y = c_p/c_v. Поскольку у обычно слабо зависит от температуры, то скорость звука в газе можно считать пропорциональной квадратному корню из тем­пературы¹). При заданной температуре она не зависит от дав­ления газа ²).

Весьма важным случаем волн являются монохроматические волны, в которых все величины являются простыми периодиче­скими (гармоническими) функциями времени. Такие функции обычно бывает удобным писать в виде вещественной части ком­плексного выражения (см. начало § 24). Так, для потенциала скорости напишем

cp = Re{cpo(*> у, г)е-**}, (64,16)

где со — частота волны. Функция ф₀ удовлетворяет уравнению

СО²

Лфо + -тгФо = 0, (64,17)

получающемуся при подстановке (64,16) в (64,7).

Рассмотрим бегущую плоскую монохроматическую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х. В та­кой волне все величины являются функциями только от х — ct, и потому, скажем, потенциал имеет вид

о_? = Це{Ае~"*('~Щ, (64,18)

где А— постоянная, называемая комплексной амплитудой. Напи­сав ее в виде А = ae^ia с вещественными постоянными а и а, бу­дем иметь:

Ф = а cos ^ а: — (й/ + а). (64,19)

Постоянную а называют амплитудой, а аргумент под знаком cos — фазой волны. Обозначим посредством п единичный вектор в направлении распространения волны. Вектор

^к=т^п=т-^п (⁶⁴'²⁰>

называют волновым вектором (а его абсолютную величину часто называют волновым числом). С этим обозначением выражение (64,18) записывается в виде

<p = Re {Лв* <*-•«}. (64,21)

Монохроматические волны играют весьма существенную роль в связи с тем, что всякую вообще волну можно представить в виде совокупности плоских монохроматических волн с различ­ными волновыми векторами и частотами. Такое разложение вол­ны на монохроматические волны является не чем иным, как разложением в ряд или интеграл Фурье (о нем говорят также как о спектральном разложении). Об отдельных компонентах этого разложения говорят как о монохроматических компонен­тах волны или как о ее компонентах Фурье.

Задачи

1. Определить скорость звука в мелкодисперсной двухфазной системе: пар с взвешенными в нем мелкими капельками жидкости («влажный пар») или жидкость с распределенными в ней мелкими пузырьками пара. Длина волны звука предполагается большой по сравнению с размерами неоднородностей системы.

(1)

Решение. В двухфазной системе р и Т не являются независимыми переменными, а связаны друг с другом уравнением равновесия фаз. Сжатие или разрежение системы сопровождается переходом вещества из одной фазы в другую. Пусть х — доля (по массе) фазы 2 в системе. Имеем:

s = (1 — х) s, + XSz, V=(l-x) Vt+xV,,

где индексы 1 и 2 отличают величины, относящиеся к чистым фазам / и 2.

Для вычисления производной (-^рг) преобразуем ее от переменных р, s

к переменным р, х и получаем:

{дх)_р(dp)

\др J_s V dp Jx

(2)

после чего подстановка (1) дает

\5рЛ'⁼ I dp s₂ — s_{ dpi L dp s₁ — s_l dpi'

Скорость звука определяется с помощью (1) и (2) по формуле (64,8).

Раскрывая полные производные по давлению, вводя скрытую теплоту перехода из фазы / в фазу 2: q = T(si — Si) и воспользовавшись формулой Клапейрона — Клаузиуса

dp ________ q

dT Т (V₂ - К,)

для производной вдоль кривой равновесия фаз (см. V § 82), получим вы­ражение, стоящее в первой квадратной скобке в (2) в виде

/ dV₂ \ 2Т (dV₂ \ Тс.-

Аналогично преобразуется и выражение во второй скобке.

Пусть фаза 1 — жидкость, а фаза 2 — пар; последний рассматриваем как. идеальный газ, а удельным объемом V_t можно пренебречь по сравнению с Vz. Если х <SC 1 (жидкость с небольшим количеством пара в виде пузырьков), то для скорости звука получается

. Шф= (3)

\R — газовая постоянная, р. — молекулярный вес). Эта скорость, вообще го,-воря, очень мала; таким образом, при образовании в жидкости пузырьков пара (кавитация) скорость звука в ней скачкообразно резко падает.

Если же 1 — х <S 1 (пар с незначительным количеством жидкости в виде капелек), то получается:

1 Ц 2 с_в2Т

Сравнивая со скоростью звука в чистом газе (64,15), найдем, что и здесь до­бавление второй фазы уменьшает скорость звука, хотя и далеко не в такой сильной степени.

В промежутке при возрастании х от нуля до единицы скорость звука монотонно возрастает от значения (3) до значения (4).

Отметим, что при х =» 0 и х — 1 скорость звука испытывает скачок при переходе от однофазной системы к двухфазной. Это обстоятельство приводит к тому, что при очень близких к нулю или единице значениях х обычная ли­нейная теория звука вообще становится неприменимой уже при малых ампли­тудах звуковой волны: производимые волной сжатия и разрежения в данных условиях сопровождаются переходом двухфазной системы в однофазную (и обратно), в результате чего совершенно нарушается существенное для теории предположение о постоянстве скорости звука.

2. Определить скорость звука в газе, нагретом до настолько высокой температуры, что давление равновесного черного излучения в нем сравнимо с давлением самого газа.

Решение. Давление вещества равно

_рттпТ+±т*.

а энтропия

1, Г^3/2, аТ³ In

ш п

В этих выражениях первые члены относятся к частицам, а вторые — к излуче­нию; п — плотность числа частиц, m — их масса, а = 4я²/45Й⁸с³ (см. V, §63)'). В плотности же вещества черное излучение не играет роли, так что р = пгп. Скорость звука обозначим здесь в отличие от скорости света посредством и. Записывая производные в виде якобианов, имеем

„2? (р' $ =«^д (р',?) / ^д (р>;) • д (р, *) д (л, Т) I д (л, Т) '

Вычислив эти якобианы, получим:

2 ^5Т Г.

3/п L

2а²Г>

5/1 (л + 2аТ³).

§ 66. Энергия и импульс звуковых волн

Выведем выражение для энергии звуковой волны. Согласно общей формуле энергия единицы объема жидкости равна ре + ри²/2- Подставим сюда р = р₀ + р', е = е₀ + е', где буквы со штрихом обозначают отклонения соответствующих величин от их значений в неподвижной жидкости. Член р'э²/2 является величиной третьего порядка малости. Поэтому, если ограни­читься точностью до членов второго порядка включительно, по­лучим:

_по,_г/ § (ре), р'² д² (ре), р₀о²

Рс^е0 ~Г Р I - Г~2 Г „ •

Ф₀ ² Фо 2

Производные берутся при постоянной энтропии, поскольку зву­ковая волна адиабатична. В силу термодинамического соотно-

') Как везде в этой книге, температура измеряется в единицах энергии.

япения

d& = Tds - pdV = Tds + dp

ашеем:

зторая производная!

/ d²(ре) Ч _ / dw \ _ (dw \ (dp \

Ч <V Л V dp Л V dp Л V dp Л р'

Таким образом, энергия единицы объема жидкости равна р_се₀+ш₀р + 2р7Р +Ро-2"-

Первый член в этом выражении (еоро) представляет собой энергию единицы объема неподвижной жидкости и не имеет от-даошения к звуковой волне. Что касается второго члена (ш₀р'). то это есть изменение энергии, связанное просто с изменением количества вещества (массы жидкости) в каждой данной еди­нице объема. В полной энергии, получающейся интегрированием энергии единицы объема по всему объему жидкости, этот член выпадает: поскольку общее количество жидкости остается неиз­менным, то ^ p^rdV =• 0. Таким образом, полное изменение энер­гии жидкости, связанное с наличием звуковой волны, равно ин­тегралу

Подынтегральное выражение можно рассматривать как плот­ность Е звуковой энергии:

Это выражение упрощается в случае бегущей плоской волны. Ъ такой волне р' = р₀у/с, и оба члена в (65,1) оказываются •одинаковыми, так что

Е = р₀у². (65,2)

В общем случае произвольной волны такое соотношение не имеет места. Аналогичную формулу можно написать в общем случае лишь для среднего (по времени) значения полной звуковой энергии. Она следует непосредственно из известной общей тео­ремы механики о том, что во всякой системе, совершающей ма­лые колебания, среднее значение полной потенциальной энер­гии равно среднему значению полной кинетической энергии.

358 звук!гл. vnr

Поскольку последняя равна в данном случае — ^ p₀v² dV, то мы находим, что полная средняя звуковая энергия есть

^EdV=^p₀v² dV. (65,3)

Далее, рассмотрим некоторый объем жидкости, в которой распространяется звук, и определим поток энергии через замк­нутую поверхность, ограничивающую этот объем. Плотность по­тока энергии в жидкости равна согласно (6,3) p\(w + v²/2).. В рассматриваемом случае можно пренебречь членом с v² как малым третьего порядка. Поэтому плотность потока энергии в звуковой волне есть pvw. Подставив сюда ш = wo + w', имеем

pwv = wopv + pw'v.

Для малого изменения тепловой функции имеем

, (dw\, р'

и далее pwv = w₀pv + p'v. Полный поток энергии через рас­сматриваемую поверхность равен интегралу

§ (wopv + p'v) df.

Первый член в этой формуле есть поток энергии, связанный" просто с изменением массы жидкости в данном объеме. Но мы уже опустили соответствующий (равный нулю при интегриро­вании по бесконечному объему) член Wop' в плотности энергии. Поэтому, чтобы получить поток энергии, плотность которой опре­делена согласно (65,1), надо опустить этот член, и поток энер­гии будет просто

§ p'v df.

Мы видим, что роль плотности потока звуковой энергии играет вектор

q = p'v. (65,4)

Легко проверить, что, как и должно было быть, имеет место со­отношение

-|f + div p'v = 0, (65,5>

выражающее закон сохранения энергии, причем роль плотности потока энергии играет именно вектор (65,4).

В бегущей (слева направо) плоской волне изменение давле­ния связано со скоростью посредством р' = cpoV, где скорость v ess v_x понимается вместе со своим знаком. Введя единичный вектор п в направлении распространения волны, получим

q = ср₀у²п = сЕп. (65,6)

Таким образом, в плоской звуковой волне плотность потока энергии равна плотности энергии, умноженной на скорость зву­ка,— результат, который естественно было ожидать.

Рассмотрим теперь звуковую волну, занимающую в каждый данный момент времени некоторую конечную область простран­ства (нигде не ограниченную твердыми стенками)— волновой па-кет\ определим полный импульс жидкости в такой волне. Им­пульс единицы объема жидкости совпадает с плотностью потока массы j = pv. Подставив р = р₀ + р', имеем j = pov -f- p'v. Изме­нение плотности связано с изменением давления посредством р' = р'/с². С помощью (65,4.) получаем поэтому

j = Pov + q/c². (65,7);

'Если в рассматриваемых явлениях вязкость жидкости несуще­ственна, то движение в звуковой волне можно считать потен­циальным и написать v = V4p (подчеркнем, что это утверждение не связано с теми пренебрежениями, которые были сделаны в § 64 при выводе линейных уравнений движения, — решение с rotv = 0 является точным решением уравнений Эйлера). По­этому имеем:

1 = Ро?Ф+я/с².

Полный импульс волны равен интегралу ^ j dV по всему за­нимаемому ею объему. Но интеграл от Уф может быть преоб­разован в интеграл по поверхности:

Уф dV = § ф dt

-и обращается в нуль, так как вне занимаемого волновым паке­том объема ф = 0. Таким образом, полный импульс пакета равен

\ldV = ±\qdV. (65,8)

Эта величина, вообще говоря, отнюдь не обращается в нуль. Но отличный от нуля полный импульс означает, что имеет место пе­ренос вещества. Мы приходим к результату, что распространение.звукового пакета сопровождается переносом вещества жидкости. Это — эффект второго порядка, поскольку q есть величина вто­рого порядка.

Наконец, рассмотрим звуковое поле в области простран­ства, неограниченной по своей длине и ограниченной по попе­речному сечению (волновой цуг конечной апертуры); вычислим •среднее значение переменной части давления р' в нем. В первом приближении, соответствующем обычным линейным уравнениям движения, р' является периодической знакопеременной функцией и среднее значение р' обращается в нуль. Этот результат, од­нако, может не иметь места, если обратиться к более высоким приближениям. Если ограничиться величинами второго порядка малости, то оказывается возможным выразить р' через вели­чины, вычисляемые с помощью линейных уравнений звука, так что не приходится прибегать к непосредственному решению не­линейных уравнений движения, получающихся при учете вели­чин высших порядков.

Характерным свойством рассматриваемого звукового поля яв­ляется то, что разности значений потенциала скорости <р в раз­личных его точках остаются конечными при неограниченном увеличении расстояния между ними (и то же самое относится к разности значений ф в заданной точке пространства в различ­ные моменты времени). Действительно, это изменение дается, интегралом

Ч>2 — Ф1 = \v dl,

который может быть взят по любому пути между точками / и 2; указанное свойство потенциала становится очевидным, если за­метить, что в данном случае можно выбрать путь, проходящий вдоль длины цуга вне его').

Имея в виду это свойство, будем исходить из уравнения Бернулли

w+^y + -fr = ^const-

*) Подобные соображения, по существу, использованы и при выводе (65,8), основанном на утверждении, что <р = 0 везде вокруг волнового пакета-вдали от него. ^г) По общему определению средних, для среднего значения производной от некоторой функиии f(t) имеем -г/2 Если функция f(t) остается конечной при всех t, то при увеличении интер­вала усреднения Т эта величина стремится к нулю.

Усредним это равенство по времени. Среднее значение производ­ной 6\p/6V обращается в нуль²). Написав_также w = ш₀ + w' и включив постоянную w₀ в const, находим да" + у²/2 = const. По­скольку conjst одинакова во всем пространстве, а вне волнового» цуга вдали от него да' и у обращаются в нуль, то ясно, что эта постоянная должна быть нулем, так что

ш^, + 4 = °- (65.9)

гРазложим, далее, ш' по степеням р'\ с точностью до члена вто­рого порядка имеем:

, (dw\,, 1 / d²w \,2

>i поскольку (dw/dp)_s— 1/р, то

2р² V dp J_s p_Q 2с²р^

Подставив это в (65,9), получим:

^{Р —} 2 ⁺ 2_Рос² 2 ⁺ 2р₀ ' ^W>,IU;

чем и определяется среднее давление. Стоящее справа выраже­ние является величиной второго порядка малости и для его вы­числения надо пользоваться р' и у, получающимися путем реше­ния линейных уравнений движения. Для средней плотности лмеем

Ввиду конечности площади поперечного сечения волнового цуга, он не может представлять собой строго плоскую волну. Но если линейные размеры сечения достаточно велики по сравнению с длиной волны звука, волновое поле может быть близко к пло­скому с высокой точностью. В бегущей плоской волне v = ср'/ро,

Дата добавления: 2014-11-07