Ol — V2X 50 страница

Отсюда скорость

„Jkr пе

(n — единичный вектор, перпендикулярный к оси цилиндра)" и интенсивность излучения (на единицу длины цилиндра)

/ = ^-_рш^ _1но|_2-

8. Определить излучение звука цилиндром, совершающим гармонические
поступательные колебания в направлении, перпендикулярном к своей оси.

Решение. На расстояниях г < К имеем:

<р = — div (R²u In kr)

(ср. формулу (74,18) и задачу 3 § 10). Отсюда заключаем, что на больших расстояниях

,_S»_A/Hdi_v-^ = _S*(ffl.) ' '^Пк
V 2fe Уг

откуда скорость

Интенсивность излучения будет пропорциональна квадрату косинуса угла между направлениями колебаний и излучения. Полная интенсивность

/ = ^-р<й^|и₀ Р.

9. Определить интенсивность излучения звука от плоской поверхности с
периодически колеблющейся температурой, частота колебаний со «С с²/х, где
X — температуропроводность жидкости.

Решение. Пусть переменная часть температуры поверхности есть Т_ае~^1а>*. Эти колебания температуры создают в жидкости затухающую теп­ловую волну (52,15):

у'₌ ^^/_е-Ш_е-п-1)л/ШЦх в результате чего будет испытывать колебания и плотность жидкости:

где 6 — температурный коэффициент расширения. Это.в свою очередь при­водит к возникновению движения, определяющегося уравнением непрерывности:

dv др'. „„,

На твердой поверхности скорость v„ = v = 0, а при удалении от нее стре­мится к пределу

v=—шв jjГdx= В У«х Т'₀е~^ш

Это значение достигается на расстояниях ~ Vx/^m > малых по сравнению с с/о, и служит граничным условием для возникающей звуковой волны. Отсюда находим интенсивность излучения звука с 1 см² поверхности:

/ = |срв²со_Х|^|².

10. Точечный источник, излучающий сферическую волну, находится на расстоянии I от твердой (полностью отражающей звук) стенки, ограничиваю­щей заполненное жидкостью полупространство. Определить отношение полной интенсивности излучаемого источником звука к интенсивности излучения, ко­торое имело бы место в неограниченной среде, а также зависимость интенсивности от направле­ния на больших расстояниях от источника.

1-

Решение. Совокупность излучаемой и от- / раженной от стенки волн описывается решением J\B волнового уравнения, удовлетворяющим условию 0^ равенства нулю нормальной скорости v_n = dq>ldn на стенке. Таким решением является

ikr

е

-Ш

+

I

Рис. 49

(постоянный множитель для краткости опускаем), где г — расстояние от ис­точника звука О (рис. 49), а г' — расстояние от точки О', расположенной относительно поверхности стенки симметрично с О. На больших расстояниях от источника имеем: г' «т — 21 cos 9, так что

Зависимость интенсивности излучения от направления определяется здесь множителем cos²(kl cos 9).

Для определения полной интенсивности излучения интегрируем поток энергии

q = p'v = — рф V<p

(см. (65,4)) по поверхности сферы сколь угодно малого радиуса с центром в точке О. Это дает

., С,, sin 2*7 \

В неограниченной же среде мы имели бы чисто сферическую волну «р = e^,<Ar-(0'Yr с полным потоком энергии 2лрк<о. Таким образом, искомое отношение интенсивностей равно

, sin 2kl ⁺ 2kl '

11. То же в жидкости, ограниченной свободной поверхностью.

Решение. На свободной поверхности должно выполняться условие р' = —рф = 0; в монохроматической волне это эквивалентно требованию q> = 0. Соответствующее решение волнового уравнения есть

(е^ш e^ik"\ __w
Ф=(_----------- -г-)е

На больших расстояниях от источника интенсивность излучения определяется множителем sin²(ft/ cos 9).

Искомое соотношение интенсивностей равно

sin 2k I

§ 75. Возбуждение звука турбулентностью

Турбулентные пульсации скорости тоже являются источником возбуждения звука в окружающем объеме жидкости. В этом параграфе будет изложена общая теория этого явления (М J Lighthiil, 1952). Будет рассматриваться ситуация, когда турбулентность занимает конечную область Уо, окруженную неограниченным объемом неподвижной жидкости. При этом са­мая турбулентность рассматривается в рамках теории несжи­маемой жидкости — вызываемым пульсациями изменением плот­ности пренебрегаем; это значит, что скорость турбулентного дви­жения предполагается малой по сравнению со скоростью звука (как это предполагалось и во всей главе III).

Начнем с вывода общего уравнения, учитывающего, наряду с движением в звуковых волнах, также и движение жидкости в турбулентной области. Отличие от произведенного в § 64 вы­вода состоит лишь в том, что должен быть сохранен нелинейный член (vV)v — хотя скорость v мала по сравнению с с, но она велика по сравнению со скоростью жидкости в звуковой волне. Поэтому вместо (64,3) пишем:

Применив к этому уравнению операцию div и используя урав­нение (64,5)

+p₀c²divv = 0,

получим:

1 <ЭУ _А, д (dV{\

Правую сторону этого уравнения можно преобразовать с по­мощью уравнения непрерывности divv = 0 (турбулентность рас­сматривается как несжимаемая!): можно вынести знак диффе­ренцирования по х_к из-под скобок. Окончательно пишем:

?-^-V-pfe. Т_и = о_Рк (75,1)

(индекс у ро снова опускаем). Вне турбулентной области выра­жение в правой стороне этого уравнения представляет собой малую величину второго порядка и может быть опущено, так что мы возвращаемся к волновому уравнению распространения звука. Правая же сторона, отличная от нуля в объеме Vo, играет роль источника звука. В этом объеме v —скорость турбулент­ного движения.

<⁷⁵'²>

Уравнение (75,1) — типа уравнения запаздывающих потен­циалов. Решение этого уравнения, описывающее исходящее от источника излучение, есть

dV,

^{v 1Г}' 4я J дх_идх_1к

(см. II, § 62). Здесь г — радиус-вектор точки наблюдения, rj — бегущей точки в области интегрирования, i? = |r— п|; подын­тегральное выражение берется в «запаздывающий» момент вре­мени t — R/c. Интегрирование в (75,2) фактически производится лишь по объему Уо, в котором подынтегральное выражение от­лично от нуля.

Основная часть энергии турбулентного движения заключена в частотах ~ы/7, отвечающих основному масштабу турбулент­ности /; и — характерная скорость движения (см. § 33). Таковы же будут, очевидно, и основные частоты в спектре излучаемых звуковых волн. Соответствующие же длины волн К ~ cl/u» /.

Для определения интенсивности излучения достаточно рас­смотреть звуковое поле на расстояниях, больших по сравнению с длиной волны К (в «волновой зоне»), эти расстояния велики "и по сравнению с линейными размерами источника — турбулент­ной области¹). Множитель 1/R в подынтегральном выражении в этой зоне можно заменить множителем \/т и вынести его из-под знака интеграла (г — расстояние точки наблюдения до на­чала координат, выбранного где-либо внутри источника); тем самым мы пренебрегаем членами, убывающими быстрее, чем 1/г, которые все равно не дают вклада в интенсивность уходя­щих на бесконечность волн. Таким образом,

d²T_ik (г,, t)

дх_ндх_гк

Производные в подынтегральном выражении берутся до взя­тия значения при t — R/c, т. е. только по первому аргументу функций Tift(t\,t). Эти производные можно заменить производ­ными от функций Ttk(r, t — R/c), взятыми по обоим аргумен­там, вычитая из них каждый раз производные по второму аргу­менту. Первые представляют собой полные дивергенции и ин­тегралы от них, будучи преобразованы в интегралы по удален­ным замкнутым поверхностям, обращаются в ноль, поскольку вне турбулентной области Г,-* = 0. Производные же по «теку­щим» координатам г_ь входящим в состав аргумента t — R/c, можно заменить производными по координатам точки наблюде-

') Говоря о порядках величин, мы не проводим различия между основ­ным масштабом / и размерами турбулентной области, хотя последние и мо­гут заметно превышать первый.

ния г, поскольку г и г₍ входят только в виде разности R — = |г — ri|. Таким образом, приходим к выражению

р'^»=шт£^\^т*(^г- '-4-И- (⁷⁵-⁴>

Время t — R/c отличается от времени t — r/c на интервал ~//с. Но такой интервал времени мал по сравнению с перио­дами 1/и основных турбулентных пульсаций. Это позволяет за­менить аргумент t — R/c в подынтегральном выражении н.а t — r/c = x^l). Производя после этого дифференцирование под знаком интеграла, и заметив, что dr/dxt = tii (n — единичный вектор в направлении г), получим:

Р'<^г' 0 = ~idhⁿ^\^f<* <^r" ^т) ^dVi' <⁷⁵'⁵>

где точка означает дифференцирование по т.

Тензор tik, как и всякий симметричный тензор с неравным нулю следом, может быть представлен в виде

Т,_к = (f«- j f_Hb_ik) + i- f _ub_lk e. Q_lk + Qb_ik, (75,6)

где Qik — «неприводимый» тензор с равным нулю следом, a Q — скаляр. Тогда сферическая волна (75,5) разобьется на сумму двух членов

P'(^r' ') = -4l&r{$^Q(^r» 4)^dVi + ⁿi*k\Qik{r_b x)dV^, (75,7)

из которых первый представляет собой излучение монопольного, а второй — квадрупольного источника.

⁴) При этом мы отказываемся от рассмотрения спектрального состава из­лучения и ограничиваемся основными частотами, определяющими полную интенсивность. Отметим также, что указанную замену нельзя было бы про­извести на более ранней стадии преобразований, в (75,3), поскольку интеграл обратился бы в нуль. ²) Интегрирование по направлениям п осуществляется следующими вы­ражениями для средних значений произведений двух или четырех компонент вектора п:

Вычислим полную интенсивность излучения. Плотность по­тока звуковой энергии в волновой зоне направлена в каждой точке вдоль направления п, а по величине равна q = р'²/ср. Пол­ная интенсивность получается умножением q на r²do и интегри­рованием по всем направлениям п ²). Фактически нас интересует, однако, не мгновенное пульсирующее значение интенсивности, а ее усредненное по времени значение (турбулентность предпо­

лагается при этом «стационарной»). Эту последнюю операцию осуществляем, написав квадрат интегралов в виде двойных ин­тегралов и производя усреднение (которое обозначаем угловыми скобками) под знаком интегралов. В результате получим сле­дующий результат:

Ро

60яс⁵

55<q(r„t)q(r₂,x))dV_ldV₂+

+ -Щ?\\<в»{*и t)Qi*(r₂, x))dV_xdV₂. (75,8)

«Перекрестное» произведение двух членов в (75,7) при интегри­ровании по направлениям выпадает, так что полная интенсив­ность оказывается равной сумме монопольного и квадрупольного излучений. Обе эти части в данном случае — вообще говоря, оди­накового порядка величины.

Оценим этот порядок величины (вернее — выясним зависи­мость / от параметров турбулентного движения). Компоненты тензора Г,-* ~ и², где и— характерная скорость турбулентного движения. Каждое дифференцирование по времени умножает этот порядок величин на характерную частоту и/1. Поэтому Q ~ и⁴//². Корреляция между скоростями турбулентных пульса­ций в различных точках простирается на расстояния ~1. По­этому количество энергии, испускаемой в виде звука единицей массы турбулентной среды в единицу времени

вэ.~-рг-£/³ = -^-. (75,9)

Интенсивность излучения пропорциональна, таким образом, восьмой степени скорости турбулентного движения.

Турбулентное движение поддерживается за счет мощности, подводимой от некоторого внешнего источника. В «стационар­ном» случае эта мощность совпадает с диссипируемой в единицу времени энергией. Отнесенная к единице массы, эта последняя е_Дисс ~ и³/1'). Акустический коэффициент полезного действия можно определить как отношение излучаемой мощности к дис­сипируемой:

') См. (33,1). Мы не делаем здесь различия между и и Ди; выбор систе­мы отсчета, по отношению к которой рассматривается движение, устанавли­вается тем, что жидкость вне турбулентной области предполагается непо­движной.

Стоящая здесь высокая степень отношения и/с приводит к тому, что при и/с «С 1 эффективность турбулентности как излу­чателя звука низка.

§ 76. Принцип взаимности

При выводе уравнений звуковой волны в § 64 предполага­лось, что волна распространяется в однородной среде. В ча­стности, плотность среды р₀ и скорость звука в ней с рассматри­вались как постоянные величины. Имея в виду получить некото­рые общие соотношения, применимые и в общем случае произ­вольной неоднородной среды, выведем предварительно уравне­ние распространения звука в такой среде.

Напишем уравнение непрерывности в виде

^ + Pdivv = 0.

Но в силу адиабатичности звука имеем:

dt \dpjsdt с² dt c²Vd'^ ^У' и уравнение непрерывности приводится к виду

~ + Wp + рс² div v = 0.

Положим, как обычно, р = ро + р', причем ро является те­перь заданной функцией координат. Что же касается давления, то в р — ро -+- р' должно по-прежнему быть ро = const, поскольку в равновесии давление должно быть постоянно вдоль всей сре­ды (если, конечно, отсутствует внешнее поле). Таким образом, с точностью до величин второго порядка малости имеем:

-^- + p₀c²divv = 0.

Это уравнение совпадает по форме с уравнением (64,5), но коэффициент рос² в нем есть функция координат. Что касается уравнения Эйлера, то мы имеем, как и в § 64:

dv ₌ _ Уп'
dt ро *

Исключая v из обоих этих уравнений (и опуская индекс у р₀)', получаем окончательно уравнение распространения звука в не­однородной среде:

Если речь идет о монохроматической волне с частотой со, то р' — —со²//, так что

^Ai"¹f + -^P^f = ^Q- <⁷⁶'²>

Рассмотрим звуковую волну, излучаемую источником неболь­ших размеров, совершающим пуяьсационные колебания (такое

излучение, как мы видели в § 74, изотропно). Обозначим точку, в которой находится источник, посредством Л, а давление р' в излучаемой им волне в точке В¹) посредством рл(В). Если тот же самый источник помещен в точку В, то создаваемое им в точке Л давление обозначим соответственно посредством рв(А). Выведем соотношение между рл(В) и рв(А).

Для этого воспользуемся уравнением (76,2), применив его один раз к излучению источника, находящегося в точке А, а дру­гой раз — к излучению источника, находящегося в В:

'2 '2

div-^ + ^Pi-O, div^+^p^O.

Умножим первое уравнение на р'_в, а второе на р'_А, и вычтем второе из первого. Получаем:

р'вУр'а р'а^р'в \ р р /

Проинтегрируем это уравнение по объему, заключенному между бесконечно удаленной замкнутой поверхностью С и двумя ма­лыми сферами Са и Св, окружающими соответственно точки А и В. Объемный интеграл преобразуется в интеграл по этим трем поверхностям, причем интеграл по С обращается в нуль, по­скольку на бесконечности звуковое поле исчезает. Таким обра­зом, получим:

(76,3)

Са+с_в

Внутри малой сферы С_А давление р'_А в волне, создаваемой источником, находящимся в А, быстро меняется с расстоянием от А, и потому градиент ур'_А велик. Давление же р'_в, создавае­мое источником, находящимся в В, в области вблизи точки А, значительно удаленной от В, является медленно меняющейся функцией координат, так что его градиент \р'_в относительно мал. При достаточно малом радиусе сферы С_А можно поэтому в интеграле по ней пренебречь вторым членом подынтегрального выражения по сравнению с первым, а в последнем можно вы­нести почти постоянную величину р'_в из-под знака интеграла, заменив ее значением в точке А. Аналогичные рассуждения при­менимы к интегралу по сфере С_в> и в результате мы получаем из (76,3) следующее соотношение:

*) Размеры источника должны быть чалыми по сравнению с расстоянием между А и В, а также по сравнению с длиной волны.

ли»S^

Но Vp'/P = —^^v l^t; поэтому это равенство можно переписать в виде

Р'в(^л)-Ъ7 [v_Adf = p'_A(B)w\v_Bdf.

С_А с_в

Интеграл ^ v_Adf представляет собой количество жидкости,

протекающей через поверхность сферы Сд в единицу времени, т. е. изменение (в 1 сек.) объема пульсирующего источника зву­ка. Поскольку источники в точках А и В тождественны, то ясно, что

J v_Adf=J \_Bdf,

и, следовательно,

р'_л(В) = р'_в(А). (76.4)

Это равенство представляет собой содержание так называе­мого принципа взаимности: давление, создаваемое в точке В ис­точником, находящимся в точке А, равно давлению, создавае­мому в А таким же источником, находящимся в В. Подчеркнем, что этот результат относится, в частности, и к тому случаю, когда среда представляет собой совокупность нескольких раз­личных областей, каждая из которых однородна. При распро­странении звука в такой среде на поверхностях раздела различ­ных областей происходит отражение и преломление. Таким об­разом, принцип взаимности применим и в тех случаях, когда на пути своего распространения от точки А к В и обратно волна испытывает отражения и преломления.

Задача

Вывести принцип взаимности для дипольного звукового излучения, соз­даваемого источником, совершающим колебания без изменения своего объема. Решение. В данном случае

$v_xrf$ = 0 (1)

и при вычислении интегралов в (76,3) необходимо учесть следующее прибли­жение. Для этого пишем с точностью до членов первого порядка

P_B = P_B{A) + t4p'_B, (2)

где г — радиус-вектор из точки А В интеграле

оба члена имеют теперь одинаковый порядок величины. Подставляя сюда р_в из (2) и учитывая (1), получим

^СА

Далее, выносим почти постоянную величину Vp'_B = — pv_B из-под знака ин­теграла, заменив ее значением в точке А:

(р_А — плотность среды в точке А). Для вычисления этого интеграла заме­чаем, что вблизи источника жидкость можно считать несжимаемой (см. §74), и потому для давления внутри малой сферы Са можно написать согласно

(ИД)

/ Аг

Р_А = — рф = р

В монохроматической волне v = —/<av, А = — шА; вводя также единичный вектор пд в направлении вектора А для источника, находящегося в точке А, найдем, что интеграл (3) пропорционален по величине

рл\в{А) пл.

Аналогично интеграл но сфере С_в будет пропорционален

—р_вУл(В)п_в

с тем же коэффициентом пропорциональности. Приравнивая их сумму нулю, найдем искомое соотношение

Рау_в(А)па = Р_вУа(В)п_в,

выражающее собой принцип взаимности для дипольного звукового излучения.

§ 77. Распространение звука по трубке

Рассмотрим распространение звуковой волны вдоль длинной узкой трубки. Под узкой подразумевается трубка, ширина ко­торой мала по сравнению с длиной волны. Сечение трубки мо­жет меняться вдоль ее длины как по форме, так и по площади. Важно только, чтобы это изменение происходило достаточно мед­ленно,— площадь S сечения должна мало меняться на расстоя­ниях порядка ширины трубки.

В этих условиях можно считать, что вдоль каждого попереч­ного сечения трубки все величины (скорость, плотность и т. п.) постоянны. Направление же распространения волны можно счи­тать везде совпадающим с направлением оси трубки. Уравнение, определяющее распространение такой волны, удобнее всего вы­вести методом, аналогичным примененному в § 12 для вывода уравнения распространения гравитационных волн в каналах,

В единицу времени через сечение трубки проходит масса Spy жидкости. Поэтому количество (масса) жидкости в объеме ме­жду-двумя бесконечно близкими поперечными сечениями трубки уменьшается в 1 с на

(Svp)_x+dx — (Svp)_x = ^{д (}^^р) dx

(координата х вдоль оси трубки). Поскольку самый объем ме­жду обоими сечениями остается неизменным, то это уменьшение -может произойти только за счет изменения плотности жидкости.

Изменение плотности в единицу времени есть ^, а соответ­ствующее уменьшение массы жидкости в объеме S dx между двумя сечениями равно

— S ■— dx.

Приравнивая оба выражения, получаем уравнение

<, др _ д (Spy), _п

*~dt — ЪТ~' ^(П'¹>

представляющее собой уравнение непрерывности для жидкости в трубке.

Далее, напишем уравнение Эйлера, опуская в нем квадра­тичный по скорости член:

— = -ii£-. (77 2)

dt р дх'

Продифференцируем (77,1) по времени; при дифференцирова­нии правой части этого уравнения надо считать р не зависящим от времени, так как при дифференцировании р возникает член,

содержащий v -— = v и потому малый второго порядка. Та­ким образом,

Подставляем сюда для dv/dt выражение (77,2), а стоящую сле­ва производную от плотности выражаем через производную от давления согласно р' = р/с².

В результате получаем следующее уравнение распростране­ния звука в трубке:

В монохроматической волне р^х) зависит от времени посредством множителя е~^ш, и (77,3) переходит в

_L JL

S дх

(к = со/с — волновой вектор).

Наконец, остановимся на вопросе об излучении звука из от­крытого конца трубки. Разность давлений между газом в конце трубки и газом в окружающем трубку пространстве мала по сравнению с разностями давлений внутри трубки. Поэтому в ка­честве граничного условия на открытом конце трубки надо с до­статочной точностью потребовать обращения давления р в нуль. Скорость же газа v у конца трубки при этом оказывается от­личной от нуля; пусть v₀ есть ее значение здесь. Произведение Svq есть количество (объем) газа, выходящего в единицу вре­мени из конца трубки.

Мы можем теперь рассматривать открытый конец трубки как некоторый источник газа с производительностью Svq. Задача об излучении из трубки делается эквивалентной задаче об излуче­нии пульсирующего тела, определяющемся формулой (74,10). Вместо производной V от объема тела по времени мы должны теперь писать величину Srj₀. Таким образом, полная интенсив­ность излучаемого звука есть

• *^ЗЦ(77,5)

4яс Задачи

1. Определить коэффициент прохождения звука при переходе его из трубки сечения S₄ в трубку сечения S₂.

Решение. В первой трубке имеем две волны — падающую pi и отра­женную />[, а во второй трубке — одна прошедшая волна р%:

р, = а/<**-•*>, р\ = а\е-¹ <**+»Ч р₂ - <z₂e'' ^(ftJC-^<a".

В месте соединения трубок (х = 0) должны быть равными давления и коли­чества Sv газа, переходящие из одной трубки в другую. Эти условия дают

^ai + ^ai^=a2- ^si{^ai~ a'_l) = S₂a₂,

откуда

Отношение D потока энергии в прошедшей волне к потоку энергии в падаю­щей волне равно

D:

^ 45.5₂ __t / S₂-S₁ \^2
S'\v_t\² (S, + S₂)² \S₂ + Sj'

') Здесь и в задачах к этому параграфу под р подразумевается везде переменная часть давления (которую мы раньше обозначали посредством р').

2. Определить количество энергии, излучаемой из открытого конца ци­линдрической трубки.

Решение. В граничном условии р = 0 на открытом конце трубки мож­но приближенно пренебречь излучаемой волной (мы увидим, что интенсив­ность излучения из конца трубки мала). Тогда имеем условие р₁ = —Р\, где р₍ и р\ — давления в падающей волне п в волне, отраженной обратно в трубку; для скоростей будем соответственно иметь v_l = Dj, так что сум­марная скорость на выходе из трубки ееть_ v₀ = v_{ + v[ = 2fj. Поток энергии н падающей волне равен cSpo²= 'AcSp&Q. С помощью (77,5) получаем для отношения излучаемой энергии к потоку в падающей волне

Sa²

ПС

Для трубки кругового сечения (радиуса R) имеем D = /?²<о²/с^г. Поскольку по предположению R < с/а, то D < 1.

3. Одно из отверстий цилиндрической трубки закрыто излучающей звук мембраной, совершающей заданное колебательное движение; другой конец трубки открыт. Определить излучение звука из трубки.

Решение. В общем решении

р = {ае^1кх + Ье-^1кх)е-^ш

определяем постоянные а и 6 из условий v = и (и = u_ae~^twt— заданная ско­рость колебаний мембраны) на закрытом конце трубки (х = 0) и условия р = 0 на открытом конце (х — I). Эти условия дают

ае^т + Ье~^ш = 0 а-Ь = сри₀.

Определяя а и 6, находим для скорости газа на открытом конце трубки ве­личину Vo = н/cos kl. Если бы трубки не было, то интенсивность излучения колебл ющей ся мембраной определялась бы средним квадратом S²1 и |² = = 5²ю²1 и |² согласно формуле (74,10) с Su вместо V; S — площадь поверх­ности мембраны. Излучение же из конца трубки пропорционально S²|o₀|²a>², Коэффициент усиления звука трубкой есть

_{^ S²\v₀\² ₌_l

S²\u\² cos²kl '

Он обращается в бесконечность при частотах колебаний мембраны, равных собственным частотам трубки (резонанс); в действительности, конечно, он все же остается конечным благодаря наличию эффектов, которыми мы пренебрег­ли (например, трения, влияния излучения звука).

4. То же для конической трубки (мембрана закрывает меньшее из от­верстий трубки).

Решение. Для сечения трубки имеем S = S₀x², меньшему и большему отверстиям трубки пусть соответствуют значения Xi и х% координаты х, так что длина трубки есть / = xi,— xi. Общее решение уравнения (77,4) есть

р = JL (ae^ikx + be~^ikx) е~^ш;

а и b определяются из условий и = и при х — Xi и р = 0 при х — х%. Для коэффициента усиления получаем:

S'xii^J² k²xl

5. То же для трубки, сечение которой меняется вдоль ее длины по эск-поненциальному закону S = S₀e^ax.

Решение. Уравнение (77,4) приобретает вид

откуда

„ _ ₀-ах/2!_nJmx

(ае'^тх+Ье-^Шх)е-^ш, т = [к* -.

Определяя а и Ъ из условий v = и при х = О и р = О при х = I, находим для коэффициента усиления

_{А =} ^so^e I °0

c²i,i|2 f^a sin от/.,V

*о 1 ^и I I тг----------------- Ь cos ml I

V 2 m /

при k > а/2 и

А — — г 77 _Г5-, ОТ = —; Й² I

при k < а/2.

1/2

§ 78. Рассеяние звука

Если на пути распространения звуковой волны находится ка­кое-либо тело, то происходит, как говорят, рассеяние звука: на­ряду с падающей волной появляются дополнительные (рассеян­ные) волны, распространяющиеся во все стороны от рассеиваю­щего тела. Рассеяние звуковой волны происходит уже благодаря самому факту наличия тела на ее-пути. Кроме того, под влия­нием падающей волны само тело приходит в движение; это дви­жение в свою очередь обусловливает некоторое дополнительное излучение звука телом, т. е. некоторое дополнительное рассея­ние. Однако, если плотность тела велика по сравнению с плот­ностью среды, в которой происходит распространение звука, а его сжимаемость мала, то рассеяние, связанное с движением тела, представляет собой лишь малую поправку к основному рассеянию, обусловленному самим наличием тела. Этой поправ­кой мы будем в дальнейшем пренебрегать и потому будем счи­тать рассеивающее тело неподвижным.

Дата добавления: 2014-11-07