Ol — V2X 48 страница

_ф = / (х, у, z) cos И + а), (69,3)

т. е. является произведением некоторой функции координат на простую периодическую функцию времени.

Такое решение имеет характер, совершенно отличный от бе­гущей волны. В бегущей волне фазы kr — со/ -f- ос колебаний в различных точках пространства в один и тот же момент вре­мени различны, будучи равными только в точках, удаленных друг от друга на расстояние, равное длине волны. В волне же (69,3) в каждый момент времени все точки тела колеблются в одной и той же фазе (wt-\-a). Ни о каком распространении та­кой волны, очевидно, нельзя говорить. Такие волны называют стоячими. Таким образом, собственные колебания представляют собой стоячие волны.

Рассмотрим плоскую стоячую звуковую волну, в которой все величины являются функцией только от одной координаты, ска­жем, х (и от времени). Написав общее решение уравнения

d²<p₀, со² _п

в виде ф₀==а cos ^-j х + В^, будем иметь:

Ф = a cos (со/ + a) cos х + в).

Надлежащим выбором начала координат и начала отсчета вре­мени можно обратить а и В в нуль, так что будет

_Ф = a cos со/ cos — х. (69,4)

Для скорости и давления в волне имеем:

дф со,. м

v = -г- — — а — cos со/ sin — х\
дх с с '

, дер ■, <в

р = — р -щ- = рю sin со/ COS — X.

В точках х — 0, пс/<д, 2яс/со, удаленных друг от друга на расстояние яс/со = к/2, скорость v всегда равна нулю; эти точки называют узлами скорости. Посредине между ними (при х — = яс/2со, Зяс/2со,...) расположены точки, в которых амплитуда колебаний скорости со временем максимальна; эти точки назы­вают пучностями волны. Что же касается давления р', то для него первые точки являются пучностями, а вторые — узлами. Таким образом, в стоячей плоской звуковой волне пучности дав­ления совпадают с узлами скорости, и обратно.

Интересным случаем собственных колебаний являются коле­бания газа, находящегося в сосуде, в котором имеется малень­кое отверстие (такой сосуд называют резонатором). В замкну­том сосуде наименьшая из собственных частот, как мы знаем, — порядка величины с/1, где / — линейные размеры сосуда. При наличии же маленького отверстия появляется новый вид соб­ственных колебаний со значительно меньшей частотой. Эти ко­лебания связаны с тем, что если между газом внутри и вне со­суда появляется разность давлений, то эта разность может вы­равниваться посредством входа и выхода газа из сосуда на­ружу. Таким образом, появляются колебания, сопровождающиеся обменом газа между резонатором и внешней средой. Поскольку отверстие мало, то этот обмен происходит медленно; поэтому период колебаний велик, а частота соответственно мала (см. задачу 2). Что касается обычных колебаний, имеющихся в замк­нутом сосуде, то их частоты под влиянием наличия малого от­верстия практически не меняются.

Задачи

1. Определить собственные частоты звуковых колебаний жидкости в со-
суде, имеющем форму параллелепипеда.

Решение. Ищем решение уравнения (69,2) в виде

Фо = const cos qx cos ry cos sz,

причем q² + т^г + s² = <o²/c². На стенках сосуда имеем условия:

дч>

«„«=-^- = 0 при лг = 0, а,
^х дх ^г

и аналогично при у = 0, 6 и z = 0, с, где а, Ь, с — длины сторон паралле­лепипеда. Отсюда находим q = тл/а, т = пл/b, s = рл/с, где m, п, р — про­извольные целые числа. Таким образом, собственные частоты равны

-—*(*+-?-+-£)•

2. К отверстию резонатора присоединена тонкая трубочка (сечения 5,
длины I); определить собственную частоту колебаний.

Решение. Поскольку трубочка является тонкой, то при колебаниях, со­провождающихся входом и выходом газа из резонатора, можно считать, что заметной скоростью обладает только газ в трубочке, а скорость газа внутри сосуда практически равна нулю. Масса газа в трубочке есть Spl, а сила, дей­ствующая на него, есть S (р₀ — р) (р, р₀ — давления газа соответственно вну­три резонатора и во внешней среде); поэтому должно быть Solii = S(p — р₀) (v — скорость газа в трубочке). С другой стороны, для производной от дав­ления по времени имеем р — с²р, а уменьшение — р плотности газа в резо­наторе в единицу времени можно считать равным вытекающему в единицу

времени количеству газа Spv, деленному на объем V резонатора. Таким об-c'Sp

разом, имеем р —---------- у— о, откуда

c²Sp. c²S,.
р =------- о =------------ _ (р - _Ро).

Это уравнение дает р — ро — const cos costf, где собственная частота шо равна

<»о = с д/трг-

Эта частота мала по сравнению с c/L (L — линейные размеры сосуда), а длина волны соответственно велика по сравнению с L.

При решении мы подразумевали, что линейная амплитуда колебаний газа в трубочке мала по сравнению с ее длиной I. В противном случае колебания сопровождаются выходом из трубочки наружу заметной доли находящегося в ней газа, и становится неприменимым использованное выше линейное урав­нение движения газа в трубочке.

§ 70. Сферические волны

Рассмотрим звуковую волну, в которой распределение плот­ности, скорости и т. д. зависит только от расстояния до неко­торого центра, т. е. обладает сферической симметрией. Такая волна называется сферической.

Определим общее решение волнового уравнения, описываю­щее сферическую волну. Будем писать волновое уравнение, на*-пример, для потенциала скорости:

а 1 д²ц> «

Поскольку ф есть функция только от расстояния г до центра (и от времени г), то, воспользовавшись выражением для опера­тора Лапласа в сферических координатах, имеем:

Положив ф = f(r, t)/r, получим для функции f(r, f) уравнение

dt² дг² '

т. е. обычное волновое уравнение в одном измерении, в кото­ром роль координаты играет радиус г. Решение этого уравнения есть, как мы знаем,

f = f₁(ct-r)+f2(ct + r),

где fi, fi — произвольные функции. Таким образом, общее реше­ние уравнения (70,1) имеет вид

_фааА+ Mrf+г) _{t (70(2)}

Первый член представляет собой расходящуюся волну, распро­страняющуюся во все стороны из начала координат. Второй же член есть волна, сходящаяся к центру. В отличие от плоской волны, амплитуда которой остается постоянной, в сферической волне амплитуда падает обратно пропорционально расстоянию до центра. Интенсивность же волны, определяющаяся квадратом амплитуды, обратно пропорциональна квадрату расстояния, как и должно было быть, поскольку полный поток энергии в волне распределяется по поверхности, площадь которой растет про­порционально г².

Переменные части давления и плотности связаны с потенциа­лом посредством

и их распределение определяется формулами того же вида, что и (70,2). Распределение же скорости (радиальной), определяю­щейся градиентом потенциала, имеет вид

_v==_d_^(ct-r) + fAct-rr)Y ₍₇₀₎₃₎

Если в начале координат нет источника звука, то потенциал (70,2) должен оставаться при г = 0 конечным. Для этого необ­ходимо, чтобы было fi(ct) = —Ы^с0> ^т- ^е-

_ф,/(с*-г)-/(с* + г) ₍₇₀₎₄₎

(стоячая сферическая волна). Если же в начале координат на­ходится источник, то потенциал излучаемой им расходящейся волны есть ф = f(ct — г) /г и не должен оставаться конечным при г — 0, поскольку это решение вообще относится только к области вне тела.

Монохроматическая стоячая сферическая волна имеет вид

Ф-Лв-^-^. (70,5)

где k = со/с. Расходящаяся же монохроматическая сферическая волна дается выражением

<Р = А—_г. (70,6)

Полезно заметить, что это выражение удовлетворяет дифферен­циальному уравнению

Дф + k\ = — 4пАе~^ш6 (г), (70,7)

в правой части которого стоит б-функция координат: б(г) = — б (х) б (у) б (г). Действительно, везде, кроме начала координат, б(г) = 0, и мы возвращаемся к однородному уравнению (70,1).

Интегрируя же по объему малой сферы вокруг начала коорди­нат Гв этой области выражение (70,6) сводится к — е~^шЛ. по-

лучим с обеих сторон — АпАе~^ш.

Рассмотрим сферическую расходящуюся волну, занимающую в пространстве область в виде шарового слоя, позади которого движение либо отсутствует вовсе, либо быстро затухает; такая волна может возникнуть от источника, действовавшего в тече­ние конечного интервала времени, или от некоторой начальной области звукового возмущения (ср. конец § 72 и задачу 4 § 74). Перед приходом волны в некоторую заданную точку простран­ства потенциал в ней ф = 0. После же ее прохождения движе­ние снова должно затухнуть; это значит, что во всяком случае должно стать ф = const. Но в сферической расходящейся волне потенциал есть функция вида ($ — f(ct — г)/г; такая функция может обратиться в постоянную, только если функция / обра­щается в нуль. Таким образом, потенциал должен обращаться в нуль как до, так и после прохождения волны¹). Из этого обстоятельства можно вывести важное следствие, касающееся распределения сгущений и разрежений в сферической волне.

Изменение давления в волне связано с потенциалом посред­ством р' = — о^щ-. Ввиду сказанного выше ясно, что если про­интегрировать р' по всему времени при заданном г, то мы полу­чим в результате нуль:

(70,8)

Это значит, что по мере прохождения сферической волны через заданную точку пространства в этой точке будут наблюдаться как сгущения (р'>0), так и разрежения (р'<0). В этом от­ношении сферическая волна существенным образом отличается от плоской, которая может состоять и из одних только сгущений или разрежений.

Такая же картина будет наблюдаться также и при рассмот­рении хода изменения р' с расстоянием в заданный момент вре­мени; вместо интеграла (70,8) будет при этом равен нулю ин­теграл

Ыг =0.

OP

(70,9)

') В противоположность плоской волне, после прохождения которой мо­жет быть ф = const =fc 0.

Задачи

1. В начальный момент времени газ внутри сферического объема (ра­диуса а) сжат так, что р' = const s= Д; вне этого объема р' = 0. Начальная скорость равна нулю во всем пространстве. Определить последующее дви­жение газа.

Решение. Начальные условия для потенциала q>(r, t) гласят: <р (г, 0) = 0, ф (л, 0) — F (г),

где

р (,-) = 0 при г > a, F (г) = — Дс²/р при г < о. Ищем ф в виде (70,4) и из начальных условий находим:

/ (-г) - / (г) = 0, Г (-г) - f (г) =^J-~^F(r)-

Отсюда

Г (r)=-f (r-r)=--^-F (л).

Наконец, подставив значение F(r), получаем для производной /'(£) и для самой функции /(1) следующий результат:

при 111 > а: Г (б)-0, Н1)=0;

при < а: /'(|)=-^-|, /(|)_-!* (|t__ei),

чем и определяется решение задачи. Рассмотрим точку с г ~> а, т. е. вне об­ласти начального сжатия; для плотности р' имеем здесь:

при t < (г — а)/с р' = 0;

при (г - а)/с <t < (г + а)/е p'=*-j- ^Г ~ °* 1

при г > (л + а)/с р' = 0.

Волна проходит через данную точку в течение промежутка времени, равного 2о/с; другими словами, волна имеет форму шарового слоя толщины 2а, за­ключенного в момент t между сферами радиусов ct — а и ct + а. Внутри этого слоя плотность меняется по линейному закону, причем в наружной его части (г > ct) газ сжат (р' > 0), а во внутренней (г < ct) — разрежен (Р'<0).

2. Определить собственные частоты центрально-симметрических звуковых колебаний в сферическом сосуде.

Решение. Из граничного условия = 0 при г = а (а — радиус

сосуда, ф — из (70,5)) получим уравнение

tg ka = ka,

определяющее собственные частоты. Первая (наименьшая) частота равна cbi = 4,49 с/а.

§71. Цилиндрические волны

Рассмотрим теперь волну, в которой распределение всех ве­личин однородно вдоль некоторого одного направления (кото­рое мы выберем в качестве оси г) и обладает полной аксиаль­ной симметрией вокруг этой оси. В такой, как говорят, цилинд-

382 звук [гл. viii

рической волне имеем q> = ф (R, /), где посредством R обозна­чается расстояние до оси г. Определим общий вид такого осе-симметрического решения волнового уравнения. Это можно сде­лать, исходя из общего вида сферически симметричного реше­ния (70,2). R связано с г посредством г² = R²-\-z², так что ф, определяемое формулой (70,2), зависит при заданных t и R также и от z. Функцию, зависящую только от R и t и в то же время удовлетворяющую волновому уравнению, можно получить интегрированием выражения (70,2) по всем значениям z от —оо до -f-oo, или, что то же, от 0 до со. Перейдем от интегрирова­ния по z к интегрированию по г. Имеем

rdr

z = У г² - Я², dz--

У г² - R^!

при изменении г от 0 до со г меняется в пределах между R и оо. Поэтому находим окончательно общий вид осесимметричного ре­шения:

где fu h — произвольные функции. Первый член представляет собой расходящуюся, а второй — сходящуюся цилиндрическую волну.

Производя в этих интегралах замену переменных ct ± г = §, перепишем формулу (71,1) в виде

Мы видим, что значение потенциала в момент времени г (в точ­ке R) в расходящейся цилиндрической волне определяется зна­чениями функции fi(r) в течение всего времени от —оо до t — R/c; аналогично в сходящейся волне существенны значения функции f₂(t) в течение всего времени от t-\-R/c до оо.

Как и в сферическом случае, стоячие цилиндрические волны получаются при /i(g) =—fid) - Можно показать, что стоячая ци­линдрическая волна может быть представлена также И в сле­дующем виде:

ct+R

(71,3)

ct-R V#²-(!-cf)²

где F(l) — снова произвольная функция.

Выведем выражение для потенциала монохроматической ци» линдрической волны. Волновое уравнение для потенциала q>(R, t\ в цилиндрических координатах имеет вид

_LJL fry ^дУ\ ¹ д^г<р _п R dR V^A dR J с² dt²

В монохроматической волне ф = e-'^wif(R) и для функции f(R) получаем уравнение

Это — уравнение функций Бесселя нулевого порядка. В стоячей цилиндрической волне ф должно оставаться конечным при /? = 0; соответствующим решением является J₀(kR), где /₀ — функция Бесселя первого рода. Таким образом, в стоячей ци­линдрической волне

Ф = Ле-*»7о(АД). (71,4)

При R — 0 функция Jo обращается в единицу, так что ампли­туда волны стремится к конечной величине А. На больших же расстояниях R функцию Jo можно заменить ее известным асимп­тотическим выражением, в результате чего волна приобретет вид

Ф== Л д/Г cos я/4) _g_ ^ (71,5)

V я ykR

Решение же, соответствующее монохроматической бегущей расходящейся волне, есть

<₉ = Ae-^iotH₀¹⁾(kR), (71,6)

где Я"'— Функция Ганкеля. При R-+0 это выражение имеет логарифмическую особенность:

Ф»Л Z-lnkR-e-™. (71,7)

На больших же расстояниях имеет место асимптотическая фор­мула

ГУ „HkR-at-пЦ)

^Ч^—щ— <⁷¹>⁸>

Мы видим, что амплитуда цилиндрической волны падает (на больших расстояниях) обратно пропорционально корню из рас­стояния до оси, а интенсивность соответственно, как 1/R. Этот результат естествен, поскольку по мере распространения волны полный поток энергии в ней распределяется по цилиндрической поверхности, площадь которой растет пропорционально R.

Цилиндрическая расходящаяся волна существенно отличает­ся от сферической или плоской в том отношении, что она может иметь передний, но не может иметь заднего фронта: после того как звуковое возмущение дойдет до заданной точки простран­ства, оно уже не прекращается в ней, лишь сравнительно мед­ленно затухая асимптотически при /-»-оо. Пусть функция в первом члене в (71,2) отлична от нуля лишь в некотором ко­нечном интервале значений |i ^ £ ^ £г- Тогда в моменты вре­мени ct > R -f-1₂ будем иметь:

ь

С U (i) dl

) V(c*-!)²-tf² "

При г->оо это выражение стремится к нулю по закону

ь

I.

т. е. обратно пропорционально времени.

Таким образом, потенциал расходящейся цилиндрической волны, возникшей от действовавшего в течение конечного вре­мени источника, хотя и медленно, но обращается в нуль при /-+•00. Это обстоятельство приводит, как и в сферическом слу­чае, к равенству нулю интеграла

J p'dt = 0. (71,9)

—00

Поэтому цилиндрическая волна, как и сферическая, непременно должна содержать в себе как сгущения, так и разрежения.

§ 72. Общее решение волнового уравнения

Выведем теперь общую формулу, определяющую решение волнового уравнения в неограниченной жидкости по заданным начальным условиям, т. е. определяющую распределение ско­ростей и давления в жидкости в произвольный момент времени по их распределению в начальный момент.

Предварительно получим некоторые вспомогательные фор­мулы. Пусть будут ф(лг, у, z, t) и *(*, у, z, t) — два каких-либо решения волнового уравнения, обращающиеся на бесконечности в нуль. Рассмотрим интеграл

/ = \ (<Й> - ФФ) dV,

взятый по всему пространству, и вычислим его производную по времени. Помня, что ср и гр удовлетворяют уравнениям

Дф — с~²ф = 0, Д* — с-²1р = 0,

общее решение волнового уравнения

имеем:

iL=J(qnp — 1|5ф) dV = с² ^(ф Дф —ф Дф) dV «= с² JdivfoV*—<W<$)dV.

Последний интеграл может быть преобразован в интеграл по бесконечно удаленной поверхности и потому обращается в нуль. Таким образом, мы приходим к результату, что dl/dt = 0, т. е. / есть не зависящая от времени постоянная:

/== J (фтр — фф)^К = const. (72,1)

Рассмотрим, далее, частное решение волнового уравнения:

_ф=а[г-_с(/,-<)1_{> (722)}

где г — расстояние от некоторой заданной точки О пространства, to — некоторый определенный момент времени, а б обозначает б-функцию. Вычислим интеграл от ф по пространству. Имеем:

оо оо

^ яр dV = ^ 4лфг² dr = гб.[г — с (t₀ — t)\ dr.

о о

Аргумент у б-функции обращается в нуль при r = c{fo — t) (предполагается, что /о>0- Поэтому в силу свойств ©-функ­ции имеем:

^dV = 4nc(t₀-i). (72,3)

Дифференцируя это равенство по t, получаем:

^dV = — 4nc. (72,4)

Подставим теперь в интеграл (72,1) в качестве ф функцию (72,2), а под ф будем понимать искомое общее решение волно­вого уравнения. Согласно (72,1) / есть величина постоянная; на этом основании напишем выражения для / в моменты времени t = 0 и t = to и приравняем их друг другу. При t = t₀ обе функ­ции tp и ф отличны от нуля только при г = 0. Поэтому при ин­тегрировании можно положить г в ф и ф равным нулю (т. е. взять значения в точке О) и вынести ф и ф из-под знака интег­рала:

/ = ф (х, у, г, t₀) J[ifdV — ф (х, у, z, t₀) ^ tydV

(х, у, г —координаты точки О). Согласно (72,3) и (72,4) второй член здесь обращается при t = г₀ в нуль, а первый дает

/ = — 4ясф {х, у, г, to).

Вычислим теперь / при г = 0. Написав ¹Р = ^_§|-=⁼ — ^и обо­значая посредством ф₀ значение функции ф при t = 0, имеем:

⁷=-\(*»ж+*•+)^dV--S*•*L^dF-S*°*Цdv.

Элемент объема пишем в виде dV=r²drdo, где do — элемент телесного угла, и в силу свойств б-функции получаем:

\ Фо^ |₍_₀ dV = ^ ф₀гб (г — ct₀) dr do = ct₀ ^ ф₀ j_f ^do

и аналогично для интеграла от фо^. Таким образом,

Наконец, приравнивая оба выражения для / и опуская индекс нуль у t₀, получаем окончательно:

Ф(*. у. г, ^^lOHr-^+'Hr-c, *>}• ^(ВД

Эта формула Пуассона определяет распределение потен-
циала в пространстве в любой момент времени, если задано рас-
пределение потенциала и его производной по времени (что экви-
валентно заданию распределения скорости и давления) в неко-
торый начальный момент времени. Мы ви-
дим, что значение потенциала в момент вре-
мени t определяется значениями ф и ф, ко-
\ Г V¹" ^ торые они имели в момент времени t = 0

\А \V^/ на поверхности сферы с радиусом г = ct и

центром в точке О.

Предположим, что в начальный момент
времени _Ф и фо были отличны от нуля только
Рис. 44 в некоторой конечной области пространства,

ограниченной замкнутой поверхностью С (рис. 44). Рассмотрим значения, которые будет принимать ф в последующие моменты в некоторой точке О. Эти значения опре­деляются значениями ф₀, фо на расстоянии г = ct от точки О. Но сферы радиусов ct проходят через область внутри поверхности только при d/c^ t ^.D/c, где d и D — наименьшее и наибольшее расстояния от точки О до поверхности С. В другие моменты вре­мени подынтегральные выражения в (72,5) обратятся в нуль. Таким образом, движение в точке О начнется в момент t = d/c и закончится в момент t — D/c. Распространяющаяся из области С волна имеет два фронта: передний и задний. Движение в жид­кости начинается, когда к данной ее точке подходит поверхность переднего фронта, на заднем же фронте колебавшиеся ранее точки приходят в состояние покоя.

Задача

Вывести формулу, определяющую потенциал по начальным условиям для волны, зависящей только от двух координат: х и у.

Решение. Элемент поверхности сферы радиуса г — ct можно, с одной стороны, написать в виде df — c²t²do, где do — элемент телесного угла. С другой стороны, проекция df на плоскость ху равна

. л/ш)² — р²
dx dy = df _t,

где p есть расстояние от центра шара до точки х, у. Сравнив оба выражения, можно написать

do--

ct V(cO^a

Обозначая координаты точки наблюдения посредством х, у, а. координаты переменной точки в области интегрирования посредством |, т|, мы можем, следовательно, в рассматриваемом случае заменить do в общей формуле (72,5) на

_____ dl dr\

ctjc4²-(x-Q²- (*/-г,)²'

удвоив при этом получающееся выражение, поскольку dx dy представляет со­бой проекцию двух элементов поверхности сферы, находящихся по разные стороны от плоскости х, у. Таким образом, окончательно получаем:

Ф (х, у, г, t) =---------------- \ \ —. —г -f-

2яс dt J J Ус²/² -(х- |)² - (у - л)²

₊ _J_ f f___________ Фо (1. n)dldr\

2пс\Sл/сЧ² -(х-I)² -(у-г,)² '

где интегрирование производится по поверхности круга с центром в точке О И радиусом г = ct. Если в начальный момент ф₀, фо отличны от нуля только в конечной области С плоскости х, у (точнее — в некоторой цилиндрической области пространства с образующими, параллельными оси г), то колебания в точке О (рис. 44) начнутся в момент времени t = rf/c, где d—ближайшее расстояние от О до этой области. Но в дальнейшем круги радиуса ct > d с центром в точке О всегда будут заключать в себе часть или всю площадь области С, и ф будет стремиться к нулю только асимптотически. Таким обра­зом, в отличие от «трехмерных» волн рассмотренные здесь двухмерные волны имеют передний, но не имеют заднего фронта (ср. § 71).

§ 73. Боковая волна

Отражение сферической волны от границы раздела между двумя средами представляет особый интерес ввиду того, что оно может сопровождаться своеобразным явлением возникновения боковой волны.

Пусть Q (рис. 45) — источник сферической звуковой волны, находящийся (в первой среде) на расстоянии / от плоской неог­раниченной поверхности раздела между двумя средами / и 2. Расстояние / произвольно и отнюдь не должно быть большим

по сравнению с длиной волны К. Плотности двух сред и ско­рости звука в них пусть будут pi, р₂ и Ci, с₂.

Предположим сначала, что Ci > с₂. Тогда на больших (по сравнению с К) расстояниях от источника движение в первой среде будет представлять собой совокупность двух расходящих­ся волн. Одна из них есть сферическая волна, непосредственно

испускаемая источником (пря-

мая волна); ее потенциал

,ikr

(73.1)

где г — расстояние от источни­ка, а амплитуду мы условно полагаем равной единице; мно­жители ег^ш во всех выраже­ниях мы будем в этом парагра­фе для краткости опускать.

\ Прямая Отражённая волна \^тна

сферы

Вторая же — отраженная — волна имеет волновые поверх­ности, представляющие собой с центром в точке Q'

Рис. 46

р

Рис. 45

(зеркальное отображение источника Q в плоскости раздела); это есть геометрическое место точек Р, до которых в один и тот же промежуток времени доходят лучи, одновременно вышедшие из точки Q и отразившиеся по законам геометрической акустики от поверхности раздела (на рис. 46 луч QAP с углами падения и отражения 0). Амплитуда отраженной волны убывает обратно пропорционально расстоянию г' от точки Q' (последнюю назы­вают иногда мнимым источником), но зависит, кроме того, и от угла 9 — так, как если бы каждый луч отражайся с коэффициен­том, соответствующим отражению плоской волны с данным углом падения 9. Другими словами, на больших расстояниях от­раженная волна описывается формулой

(73,2)

е^{1 кг} | с₂р₂ cos Э — Р[ л/с² — с\ sin² 0

<Р| = —— I ---------------------------- . -----

г L с₂р₂ cos 0 + р₍ -у с² — с\sin²0

(ср. формулу (66,4) для коэффициента отражения плоской вол­ны). Эта формула, справедливость которой (для больших г') ■сама по себе естественна, может быть строго выведена указан­ным ниже способом.

Более интересен случай, когда

й < с₂.

Здесь наряду с обычной отраженной волной (73,2) в первой среде появляется еще бдна волна, основные свойства которой можно усмотреть уже из следующих простых соображений.

Обычный отраженный луч QAP (рис. 46) удовлетворяет прин­ципу Ферма в том смысле, что это есть путь наиболее быстрого пробега из точки Q в Р из всех путей, лежащих целиком в среде / и испытывающих однократное отражение. Но принципу Ферма удовлетворяет (при с\ < с₂) и другой путь: луч падает на границу под углом полного внутреннего отражения 9₀(sin6₀ = = Ci/c₂), затем распространяется по среде 2 вдоль границы раз­дела и, наконец, снова переходит в среду / под углом 0о (QBCP на рис. 46); очевидно, что должно быть 9 > 9о. Легко видеть, что такой путь тоже обладает экстремальным свойством: время про­бега по нему меньше, чем по любому другому пути из Q в Р, частично проходящему во второй среде.

Геометрическое место точек Р, до которых в один и тот же момент времени доходят лучи, одновременно вышедшие из Q вдоль пути QB и затем перешедшие снова в среду / в различных точках С, есть, очевидно, коническая поверхность, образующие которой перпендикулярны к прямым, проведенным из «мнимого источника» Q' под углом 9₀.

Таким образом, если с_{ < с₂, то наряду с обычной отражен-! ной волной со сферическим фронтом в первой среде будет рас­пространяться еще одна волна с коническим фронтом, прости­рающимся от плоскости раздела (на котором он смыкается с фронтом преломленной волны во второй среде) до касания фронта сферической отраженной волны (последнее происходит по линии пересечения с конусом, с углом раствора 9о и осью вдоль линии QQ', см. рис. 45). Эту коническую волну называют боковой.

Путем простого подсчета легко убедиться в том, что время пробега вдоль пути QBCP (рис. 46) меньше, чем время пробега по пути QAP, ведущему в ту же точку наблюдения Р. Это зна­чит, что звуковой сигнал из источника Q доходит до точки на-

Дата добавления: 2014-11-07