Должно быть 13 страница

отличное от нуля. Но это значит, что в рассматриваемой точке | как функция от v имеет максимум. Иначе можно сказать, что функция у(£) существует лишь при |, лежащих только по ниж­нюю сторону от значения, соответствующего условиям (130,8); это значение является второй границей, за которую не может простираться рассматриваемая область. Из того, что £— v — с может обратиться в нуль только на границе области, а при ма­лых v во всяком случае £ — v — с > 0, мы заключаем, что

S — v>c

(130,10)

везде внутри этой области.

Теперь уже легко видеть, что реальная передняя граница об­ласти рассматриваемого движения должна совпадать с точкой, где выполняются условия (130,8). Для этого замечаем, что раз­ность r/t— v, где г— координата границы, есть не что иное, как скорость перемещения этой границы относительно остающегося за ней газа. Но поверхность, на которой r/t— v > с, не может быть поверхностью детонационной волны (на которой должно быть r/t — v ^ с). Поэтому мы приходим к результату, что пе­редней границей рассматриваемой области может быть только точка, в которой имеет место (130,8). На этой границе v па­дает скачком до нуля, а скорость ее распространения относитель­но остающегося непосредственно за нею газа равна местной ско­рости звука. Это значит, что детонационная волна должна со­ответствовать точке Чепмена — Жуге детонационной адиабаты '),

Мы приходим к следующей картине движения газа при сфе­рическом распространении детонации. Детонационная волна, как и при детонации в трубе, соответствует точке Чепмена — Жуге. Непосредственно за нею начинается область сферической авто­модельной волны разрежения, в которой скорость газа падает до нуля. Падение происходит монотонно, так как согласно (130,5) производная dv/d\ может обратиться в нуль лишь в той точке, где одновременно v = 0. Вместе со скоростью монотонно убывают также и давление и плотность газа (согласно (130,4)

^J) Отметим для полноты рассуждений, что v = const не является реше­нием уравнений центрально-симметрического движения. Поэтому за детона­ционной волной не может следовать область постоянной скорости.

и (130,10) производная р' имеет везде тот же знак, что и v'). Кривая зависимости v от r/t имеет на передней границе верти­кальную (согласно (130,9)), а на внутренней — горизонтальную касательную (рис. 134). Внутренняя граница является слабым разрывом, вблизи которого зависимость и от r/t определяется уравнением (130,7). Внутри сферы, ограниченной поверхностью слабого разрыва, газ неподвижен. Общее количество (по массе) непо­движного вещества, однако, весьма незначительно (ср. соображения, приведенные в конце § 106).

Таким образом, во всех рассмот-
ренных типичных случаях самопро-
извольного одномерного и сфериче- t
ского распространения детонации Рис. 134
граничные условия в области позади

детонационной волны приводят к однозначному отбору скорости последней, соответствующему точке Чепмена — Жуге (после того, как вся область детонационной адиабаты ниже этой точки была исключена по соображениям, изложенным в § 129). Осу­ществление в трубе постоянного сечения детонации, соответ­ствующей расположенной выше этой точки части адиабаты, тре­бовало бы искусственного поджатия продуктов горения движу­щимся со сверхзвуковой скоростью поршнем (см. задачу 3 к этому параграфу); о таких детонационных волнах говорят как о пересжатых.

Подчеркнем, однако, что эти выводы не имеют универсаль­ного характера, и можно представить себе случаи самопроиз­вольного возникновения пересжатой детонационной волны. Так, пересжатая волна возникает при переходе детонации из широ­кой трубки в узкую; это явление связано с тем, что когда дето­национная волна доходит до места сужения, происходит ее частичное отражение, в результате чего давление продуктов го­рения, втекающих из широкой в узкую часть трубы, резко воз­растает—ср. задачу 4 (Б. В. Айвазов, Я. Б. Зельдович, 1947)¹).

По поводу изложенной в этом и предыдущем параграфах тео­рии необходимо сделать следующее общее замечание. Структура детонационной волны предполагается в ней стационарной и од­нородной по ее площади; она одномерна в том смысле, что рас­пределение всех величин в зоне горения предполагается завися­щим только от одной координаты — вдоль ее ширины. Накоп­ленные к настоящему времени экспериментальные данные сви­детельствуют, однако, о том, что такая картина представляет

') Пересжатость возникает также при распространении сходящейся ци­линдрической или сАерической детонационной волны — см. Зельдович Я. Б. —< ЖЭТФ, 1959, т. 36, с. 782.

собой далеко идущую идеализацию, которая могла бы служить лишь для некоторого усредненного описания процесса; реально наблюдаемая картина обычно существенно от нее отличается. Фактически структура детонационной волны существенно неста­ционарна и существенно трехмерна; волна имеет вдоль своей площади мелкомасштабную, быстро меняющуюся со временем сложную структуру. Ее возникновение представляет собой ре­зультат неустойчивости, связанной прежде всего с сильной (экс­поненциальной) температурной зависимостью скорости реак­ции— уже небольшие изменения температуры при искажении формы ударного фронта сильно отражаются на ходе реакции; эта неустойчивость выражена тем сильнее, чем больше отноше­ние активационной энергии реакции к температуре газа (за ударной волной). В особенности наглядно неоднородность и не­стационарность структуры детонационной волны проявляется в условиях, близких к пределу распространения детонации в трубе: воспламенение горючей смеси происходит в основном лишь за одиночными эксцентрично расположенными (и движущимися по спирали) резко деформированными участками ударного фронта (в таких случаях говорят о спиновой детонации). Разбор воз­можных механизмов всех этих сложных явлений не входит в задачу этой книги¹).

Задачи

1. Определить движение газа при распространении детонационной волны по трубе от закрытого ее конца.

Решение. Скорости детонационной волны относительно находящегося перед нею неподвижного газа v_f и относительно остающегося непосредственно за нею сгоревшего газа и₂ определяются по температуре Ti по формулам (129,11 — 12); Vi есть в то же время скорость перемещения волны относи­тельно трубы, так что ее координата определяется как х — v_tt. Скорость (относительно трубы) продуктов горения на детонационной волне равна Vi — 02. Скорость же о₂ совпадает с местной скоростью звука. Поскольку в автомодельной волне разрежения скорость звука связана со скоростью

, V- 1

газа о посредством с = с₀Н--------- ₂—°< ^т0 имеем:

»2 = Со + ¹ ("1 —»2>.

откуда

Co-—^—v₂ —о,.

Для сильной детонационной волны с помощью (129,14) получаем просто Со — Oi/2. Величина с₀ и. есть скорость перемещения задней границы волны

') Дадим лишь ссылки на некоторые книги и обзорные статьи: Щел-кин К- И., Трошин Я. Г. Газодинамика горения. — М.: Наука, 1963; Солоу­хин Р. И. Ударные волны и детонация. — М.: Наука, 1963; Солоухин Р. И. — УФН, 1963, т. 80, стр. 525; Oppenheim А. К-, Soloukhin R. /. — Ann. Rev. Fluid Mech., 1973, v. 5, p. 31.

разрежения. Между обеими границами скорость меняется по линейному за­кону (рис. 133, а).

2. То же для трубы с открытым концом.

Решение. Скорости Ui п и₂ определяют так же, как и в предыдущем случае; поэтому той же оказывается и скорость c<j. Область волны разреже­ния простирается, однако, теперь не до точки, где и = 0, а до самого начала трубы (х = 0, рис. 133,6). Из формулы x/t = v + с (99,5) видим, что газ вытекает из отверстия трубы со скоростью v = —с, равной местной скоро­сти звука. Написав

_ _v = с = с₀ + ^Y2 Г ' V,

— v

получим поэтому для скорости вытекания газа следующее значение:

2с₀

-о Y2 + 1

Для сильной детонационной волны эта скорость равна i>i/(y₂ + 1) и по вели­чине совпадает со скоростью газа непосредственно за волной.

3. То же при распространении детонационной волны от конца трубы, закрытого поршнем, начинающим в начальный момент времени двигаться вперед с постоянной скоростью U.

Решение. Если U < v_iy то распределение скорости в газе имеет вид, изображенный на рис. 135, а. Скорость газа падает от значения Vi — v₂ при x/t = V\ до значения U при

и

с прежним значением с₀ Дальше следует область газа, движущегося с по­стоянной скоростью U.

а)

U

Если же U > Ki, то детонационная волна уже не может соответствовать точке Жуге (поршень «обгонял» бы ее). В этом случае возникает «пересжа­тая» детонационная волна, соответствующая точке на адиабате, расположенной выше точ­ки Жуге. Она определяется тем, что скачок скорости в ней должен быть равен как раз скорости поршня: Vj — v₂ — U. Во всей об­ласти между детонационной волной и порш­нем газ движется с пострянной скоростью U (рис. 135,6).

б)

U

х t

4. Определить давление, возникающее у абсолютно твердой стенки при отражении па­дающей на нее в нормальном направлении плоской сильной детонационной волны (К- П. Станюкович, 1946).

Рис. 135

Решение. При падении детонационной волны на стенку возникает отражения я

ударная волна, распространяющаяся в обратном направлении по продук­там горения. Вычисления в точности аналогичны произведенным в задаче 1 § 100. С теми же обозначениями, что и там, имеем в данном случае три соотношения:

Pi (Vi - V₂) = (рз - p») (V_t - V_t),

\i V_Z (V2+ I)p2 + (V2— 1)P3

V, Y2+1'

(Vj — 1)р2 + (Уз4- l)p₃

(мы пренебрегаем pi по сравнению с рг, но р₂ и р₃—одного порядка вели­чины). Исключая объемы, получим для р₃ квадратное уравнение, причем должен быть выбран тот из его корней, для которого р₃ > рг,

Рз ₌ 5у₂ + 1 + V 17уг + 2у₂ + 1
Pi ~~ 4у₂

Отметим, что это отношение почти не зависит от значения уг, меняясь всего в пределах от 2,6 до 2,3 при изменении у% от 1 до оо.

§ 131. Соотношение между различными режимами горения

В § 129 было показано, что детонации соответствуют точки на верхней части детонационной адиабаты для данного процес­са горения. Поскольку уравнение этой адиабаты есть следствие одних лишь необходимых законов сохранения массы, импульса и энергии (примененных к начальному и конечному состояниям

горящего газа), то ясно, что на эту же
кривую должны лечь точки, изобра-
жающие состояние продуктов реакции
также и при всяком другом режиме
горения, в котором зону горения мож-
но рассматривать как некоторую «по-
верхность разрыва». Выясним теперь,
каков именно физический смысл ос-
тальных участков этой кривой.
\!\, Проведем через точку р\, V\ (точ-
' if ^ка ^ ^на Р^ИС-) вертикальную и го-
^^.^ ризонтальную прямые 1А и 1А' и две
~"~ ^v2 касательные 10 и 10' к адиабате. Точ-
ки А, А', О, О' касания или пересече-
р_ис 1₃₆ ния этих прямых с кривой разделят
адиабату на пять частей. Часть кри-
вой, лежащая над точкой О, соответствует, как указано,
детонации. Рассмотрим теперь другие участки кри-
вой.

Прежде всего легко видеть, что участок АА' вовсе не имеет никакого физического смысла. Действительно, на этом участке имеем Pi > р\, Vi > Vi, и поэтому поток вещества / оказался бы мнимым (ср. (129,2)).

В точках касания О и О' производная d(j²)/dp₂ обращается в нуль; уже было указано в § 129 (со ссылкой на § 87), что в таких точках имеют одновременно место равенство v₂ — с₂ и неравенство d(v₂/c₂)/dp₂ < 0. Отсюда следует, что над точками касания v₂ < с₂, а под ними v₂ > с₂. Что касается взаимоотно­шения между скоростями vi и с\, то его всегда легко установить из рассмотрения наклона соответствующих хорд и касательных, подобно тому как это было сделано в § 129 для участка кривой над точкой О. В результате такого рассмотрения найдем, что на.

v₂ < с₂; Щ > с₂; v₂ < с₂, v₂ > с₂.

отдельных участках адиабаты имеют место следующие неравен­ства:

(131,1)

над точкой О: v_t > с_и на отрезке АО: v_x > с_и на отрезке А'0'\ и, < С\, под точкой О'; v_x < с\,

В точках О и О' имеем v₂ = с₂. При приближении к точке А поток /, а вместе с ним и скорости у_ь у₂ стремятся к бесконеч­ности. При приближении же к точке А' поток /' и скорости и_ь у₂ стремятся к нулю.

В § 88 было введено понятие об эволюционное™ ударных волн как о необходимом условии возможности их осуществления. Мы видели, что этот критерий устанавливается сравнением чис­ла параметров, определяющих возмущение, и числом граничных условий, которым оно должно удовлетворять на самой поверх­ности разрыва.

Все эти соображения можно применить и к рассматриваемым здесь «поверхностям разрыва». В частности, остается в силе и произведенный в § 88 подсчет числа параметров возмущения для каждого из четырех случаев (131,1), представленный на рис.57. Для детонационного режима (адиабата над точкой О) число гра­ничных условий такое же, как и для обычной ударной волны, и условие эволюционное™ остается прежним. Для недетонацион­ного же режима (адиабата под точкой О) ситуация меняется ввиду изменения числа граничных условий. Дело в том, что в таком режиме горения скорость его распространения целиком определяется свойствами самой химической реакции и усло­виями теплопередачи из зоны горения в находящуюся перед ней ненагретую газовую смесь. Это значит, что поток вещества / че­рез зону горения равен определенной заданной величине (точнее, определенной функции состояния исходного газа 1), между тем как в ударной или детонационной волне / может иметь произ­вольное значение. Отсюда следует, что на разрыве, представляю­щем зону недетонационного горения, число граничных условий на единицу больше, чем на ударной волне,— добавляется усло­вие определенного значения /. Всего, таким образом, оказывается четыре условия, и тем же образом, как это было сделано в § 87, заключаем теперь, что абсолютная неустойчивость разрыва имеет место лишь в случае v\ < с_ь v₂ > с₂, изображающемся точками на участке адиабаты под точкой О'. Мы приходим к выводу, что этот участок кривой не соответствует каким бы то ни было ре­ально осуществляющимся режимам горения.

Участок А'О' адиабаты, на котором обе скорости»| и»₂ — дозвуковые, соответствует обычному режиму медленного горе­ния. Увеличению скорости горения / соответствует на участке

А'О' адиабаты перемещение от точки А' (в которой / = 0) к О'. Написанные в § 128 формулы (128,5) соответствуют точке А' (в которой pi = р₂) и применимы постольку, поскольку / доста­точно мало, т. е. поскольку скорость распространения горения мала по сравнению со скоростью звука. Точка же О' отвечает предельному «наиболее быстрому» режиму рассматриваемого типа. Выпишем здесь формулы, относящиеся к этому предель­ному случаю.

Точка О', как и точка О, есть точка касания кривой с про­веденной из точки 1 касательной. Поэтому формулы, относя­щиеся к точке О', можно получить непосредственно из формул (129,8—11), относящихся к точке О, сделав в них лишь соответ­ствующую перемену знака (см. сноску на стр. 675). Именно, в формулах (129,9) и (129,11) для v\ и у₂ надо изменить знак пе­ред вторым корнем, в связи с чем меняет знак также и выра­жение (129,12) для vi — v₂. Формулы (129,10) остаются неиз­менными, если понимать в них под y_t новое значение. Все эти формулы сильно упрощаются в том случае, когда теплота реак­ции велика (q >• c_viTi). Тогда получим:

(131,2)

Необходимо сделать здесь следующую оговорку. Мы видели, что при медленном горении в закрытой трубе впереди зоны го­рения непременно возникает ударная волна. При больших ско­ростях горения интенсивность этой волны велика и она суще­ственным образом меняет состояние подходящей к зоне горения газовой смеси. Поэтому не имеет, собственно говоря, смысла следить за изменением режима горения при увеличении его ско­рости для заданного состояния р_ь Vi исходной горючей смеси. Для того чтобы достигнуть точки О', необходимо создать такие условия горения, при которых бы не возникала ударная волна. Это можно, например, осуществить при горении в открытой с обеих сторон трубе, причем с заднего конца производится непре­рывный отсос продуктов горения. Скорость отсоса должна быть подобрана так, чтобы зона горения оставалась неподвижной, и потому не возникала бы ударная волна ').

Участок АО адиабаты отвечает недетонационному режиму го­рения,, распространяющемуся со сверхзвуковой скоростью. Оно

') Обычное медленное горение в трубе может самопроизвольно перейти в детонацию. Этому предшествует самопроизвольное ускорение распростране­ния пламени, а детонационная волна возникает впереди последнего. Обсужде­ние возможных механизмов этих процессов можно найти в указанных на стр. 666, 684 книгах.

может, в принципе, возникнуть при наличии очень хороших усло­вий теплопередачи (например, путем лучистой теплопровод­ности), приводящих к скоростям горения /, превышающим зна­чение, соответствующее точке О'.

В заключение обратим внимание на следующие общие отли­чия (помимо отличий, заключенных в неравенствах (131,1)) ме­жду режимами, изображающимися соответственно верхней и нижней частями адиабаты. Выше точки А имеем:

р2 > Рь V₂ < Vu v% < Vi.

Другими словами, продукты реакции сжаты до более высоких давления и плотности, чем исходное вещество, и движутся вслед за фронтом горения (со скоростью v\ — v₂). В области же ниже точки А имеем обратные неравенства:

Р2 < Ри V₂ > Vu v₂ > v_t;

продукты горения разрежены по сравнению с исходным веще­ством.

§ 132. Конденсационные скачки

Формальным сходством с детонационными волнами обладают конденсационные скачки, возникающие при движении газа, со­держащего, например, пересыщенный водяной пар^[27]). Эти скач­ки представляют собой результат внезапной конденсации паров, причем процесс конденсации происходит очень быстро в узкой зоне, которую можно рассматривать как некоторую поверхность разрыва, отделяющую исходный газ от «тумана» — газа, содер­жащего конденсированные пары. Подчеркнем, что конденсацион­ные скачки представляют собой самостоятельное физическое яв­ление, а не результат сжатия газа в обычной ударной волне; последнее вообще не может привести к конденсации паров, так как эффект увеличения давления в ударной волне перекрывается в смысле его влияния на степень пересыщения обратным эффек­том повышения температуры.

Как и реакция горения, конденсация пара представляет со­бой экзотермический процесс. Роль теплоты реакции q играет при этом количество тепла, выделяющегося при конденсации пара, заключенного в единице массы газа^[28]). Конденсационная адиабата, определяющая зависимость р₂ от V₂ при заданном состоянии р_и Vi исходного газа с неконденсированными парами, выглядит так же, как и изображенная на рис. 136 адиабата для реакции горения. Взаимоотношение между скоростями распро­странения скачка и\, v₂ и скоростями звука С\, с₂ на различных участках конденсационной адиабаты определяется неравенствами (131,1). Однако не все из перечисленных в (131,1) четырех слу­чаев могут реально осуществиться.

Прежде всего возникает вопрос об эволюционное™ конден­сационных скачков. В этом отношении их свойства полностью аналогичны свойствам разрывов, представляющих зону горе­ния. Мы видели (§ 131), что отличие устойчивости последних от устойчивости обычных ударных волн связано с наличием одного дополнительного условия (заданное значение потока /), которое должно выполняться на их поверхности. В данном случае тоже имеется одно дополнительное условие — термодинамическое со­стояние газа / перед скачком должно быть как раз тем, которое соответствует началу быстрой конденсации пара (это условие представляет собой определенное соотношение между давлением и температурой газа)). Поэтому сразу можно заключить, что весь участок адиабаты под точкой О', на котором v\ < Ci, v₂ > с₂, исключается как не соответствующий устойчивым скачкам.

Леко видеть, что не могут реально осуществляться также и;качки, соответствующие участку над точкой О (ui > с_л, v₂ < с₂). Такой скачок перемещался бы относительно находящегося перед ним газа со сверхзвуковой скоростью, а потому его возникнове­ние никак не отражалось бы на состоянии этого газа. Это зна­чит, что скачок должен был бы возникнуть вдоль поверхности, заранее определяемой условиями обтекания (поверхность, на ко­торой при непрерывном течении достигались бы необходимые условия начала быстрой конденсации). С другой стороны, ско­рость скачка относительно остающегося позади него газа в дан­ном случае была бы дозвуковой. Но уравнения дозвукового дви­жения не имеют, вообще говоря, решений, в которых все вели­чины принимают заранее определенные значения на произвольно заданной поверхности¹).

Таким образом, оказываются возможными конденсационные скачки всего двух типов: 1) сверхзвуковые скачки (отрезок АО адиабаты), на которых

0i>ci, v₂>c₂, р₂>Ри V₂<Vi (132,1)

§ 132]

КОНДЕНСАЦИОННЫЕ СКАЧКИ

и конденсация сопровождается в них сжатием вещества; 2) до­звуковые скачки (отрезок А'О' адиабаты), на которых

vi<c_u v₂<c₂, рг<ри V₂>Vi (132,2)

и конденсация сопровождается разрежением газа.

Значение потока / (скорости конденсации) монотонно воз­растает вдоль отрезка А'О' от точки А' (в которой / = 0) к точ­ке О', а вдоль отрезка АО — монотонно падает от А (где / == со) к О. Интервал же значений / (а с ним и соответствующий ин­тервал значений скорости vi = jVi) между теми, которые / при­нимает в точках О и О', является «запрещенным» и не может быть осуществлен в конденсационных скачках. Общее количе­ство (масса) конденсирующегося пара обычно весьма мало по сравнению с количеством основного газа. Поэтому можно с оди­наковым правом рассматривать оба газа / и 2 как идеальные; по этой же причине можно считать одинаковыми теплоемкости обоих газов. Тогда значение v\ в точке О определится формулой (129,9), а в точке О' — такой же формулой с обратным знаком перед вторым корнем; положив в этих формулах yi=Y2 = Y и введя скорость звука С\ согласно с² = у (у— 1)с₀Г_|( найдем сле­дующий запрещенный интервал значений v\\

у«?+^«-у ^<».< _________________________________________________

<V^е'^+J^i^=± ^~⁺V'-г^1q■ ^(132,3)

Задача

Определить предельные значения отношения давлений рг/Pi в конденса­ционном скачке, считая, что qjc²<g.\.

Решение. На участке А'О' конденсационной адиабаты (рис. 136) от­ношение рг/pi монотонно возрастает по направлению от О' к А', пробегая значения в интервале

Л/ (Y+Uc² р,

На участке же АО это отношение возрастает но направлению от А к О, пробегая значения в интервале

с[ Pi V (Y+.1K

ГЛАВА XV

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА

§ 133. Тензор энергии-импульса жидкости

Необходимость в учете релятивистских эффектов в гидроди­намике может быть связана не только с большой (сравнимой со скоростью света) скоростью макроскопического движения жидкости. Гидродинамические уравнения существенно меняются и в том случае, когда эта скорость не велика, но велики скорости микроскопического движения составляющих жидкость частиц.

Для вывода релятивистских уравнений гидродинамики необ­ходимо прежде всего установить вид 4-тензора энергии-им­пульса движущейся жидкости T^ikl). Напомним, что Т⁰⁰ = Т_оа есть плотность энергии, Т^0а/с ——Т_оа/с — плотность компонент импульса, величины Г^аР = Т_а$ составляют тензор плотности по­тока импульса, плотность же потока энергии сТ^0а отличается от плотности импульса лишь множителем с^[29].

') Содержание этого параграфа в значительной степени повторяет содер­жание II § 35 й приводится здесь для связности изложения. Принятые в этой главе обозначения соответствуют обозначениям в II. Латинские индексы i, k, I,... пробегают значения 0, 1, 2, 3, причем х° — ct— временная координата (в этой главе с — скорость света). Первые буквы гре­ческого алфавита а, В,.. в индексах пробегают значения 1, 2, 3, отвечающие пространственным координатам. Галилеевой метрике (специальная теория от­носительности) отвечает метрический тензор с компонентами goo = 1, gu = = gS2 — 833 = -- 1-

Поток импульса через элемент di поверхности тела^[30]) есть не что иное, как действующая на этот элемент сила. Поэтому T^a$df$ есть а-я компонента силы, действующей на элемент по­верхности. Рассмотрим некоторый элемент объема жидкости и воспользуемся системой отсчета, в которой он покоится (локаль­ная собственная система отсчета, или локальная система покоя; значения величин в ней называют собственными). В такой си­стеме отсчета справедлив закон Паскаля, т. е. давление, ока­зываемое данным участком жидкости одинаково по всем на­правлениям и везде перпендикулярно к площадке, на которую оно производится. Поэтому можно написать T^aVdf$ = pdf_a, от­куда

Что касается компонент Т^0а, представляющих плотность им­пульса, то в локальной собственной системе отсчета они равны нулю. Компонента же Г⁰⁰ равна собственной плотности внутрен­ней энергии жидкости, которую мы будем обозначать в этой гла­ве посредством е.

Таким образом, в локальной системе покоя тензор энергии-импульса имеет вид

(

е 0 0 0\
2 S Г. (133.1)

О 0 0 р)

Легко найти теперь выражение Т^ш в любой системе отсчета. Для этого введем 4-скорость и¹ движения жидкости. В локаль­ной системе покоя ее компоненты: ы°==1, и^а — 0. Выражение для 7"'[31], обращающееся в (133,1) при этих значениях и', есть

Р^к = -ши¹и [32] — pg^tk, (133,2)

где w = е + Р — тепловая функция единицы объема. Это и есть искомое выражение тензора энергии-импульса ').

Компоненты Т⁷[33], написанные в трехмерном виде, равны

„а WV.,Va

¹ ~ с²(\ — v²/c²) ^ ^ ^аР'

, (133,3)

cd—v'fc²)' l—v²/c^{2 H} \-v²/c² '

Нерелятивистскому случаю соответствуют малые скорости v <С с и малые скорости внутреннего (микроскопического) дви­жения частиц в жидкости. При совершении предельного пере­хода следует иметь в виду, что релятивистская внутренняя энер­гия е содержит в себе также и энергию покоя time² составляю­щих жидкость частиц (т —масса покоя отдельной частицы). Кроме того, надо учесть, что плотность числа частиц п отнесена к единице собственного объема; в нерелятивистских же выра­жениях плотность энергии относится к единице объема в «лабо­раторной» системе отсчета, в который данный элемент жидкости движется. Поэтому при предельном переходе надо заменить

ро²

где р—обычная нерелятивистская плотность массы. По сравне­нию с рс² мала как нерелятивистская плотность энергии (обо­значим ее ре), так и давление.

Имея все это в виду, найдем, что предельное значение

Гоо = PC² 4-ре 4-—

т. е. совпадает, за вычетом рс², с нерелятивистской плотностью энергии. Соответствующее предельное значение тензора T_af.

Т_ч = Р V_p + рб_ар,

Дата добавления: 2014-11-07