Должно быть 16 страница

Задача

Разделить уравнения для нормального и сверхтекуче! о движений в не­сжимаемой сверхтекучей жидкости (принимаются постоянными не только пол­ная плотность р, но и p_s и р„ по отдельности).

Решение. Диссипативные члены в энтропийном уравнении являются малыми величинами второго порядка и могут Сыть в данном случае опущены; тогда и s = const, а из уравнений (139,3) и (139,5) имеем div v_s = divv„ = = 0. В тензоре же плотности потока импульса сохраняем линейный по гра­диентам скорости член, связанный с вязкостью нормального движения:

Подставив это выражение (вместе с Пщ из (139,12)), получим уравнение Ps 4*7" + Р" 4fiT + ^{Ps (Vs}^ ^v«+ Р" (^v«^{7) v}«— — Vp 4- П div v„,

ИЛИ

Pn —gj- + Рп (V_nV) V„ + PsV ~Y + Ps⁷ ~gf = — VP + 4 V„.

где введен потенциал сверхтекучего движения согласно v_s = V(p_s и учтено, что (v_sV)v_s = Vd²/2. Поскольку div v„ = 0, то потенциал <р» удовлетворяет уравнению Лапласа Д<р₅ = 0. Введем в качестве двух вспомогательных вели­чин «давления» нормального и сверхтекучего движений р„ и p_s согласно равенству р = р₀ + рп + ps, где р₀ — давление на бесконечности, a p_s опре­деляется обычной для идеальной жидкости формулой

d<P_s P_sv²_s
Ps=-Ps—_f-------------- 2~.

Уравнение для скорости v„ принимает тогда вид

■^Г + <У«V) v„ = - -J- Vp„ + -3- Ду„,

Of Pn Pn

формально совпадающий с уравнением Навье — Стокса для жидкости с плот­ностью р_п и вязкостью Г).

Таким образом, задача о движении несжимаемого гелия II сводится к двум задачам обычной гидродинамики для идеальной и для вязкой жидко­стей. Сверхтекучее движение определяется уравнением Лапласа с гранич­ным условием для нормальной производной дц>$1дп, как в обычной задаче о потенциальном обтекании идеальной жидкостью. Нормальное движение определяется уравнением Навье — Стокса с таким же граничным условием для Vn (при отсутствии теплообмена между стенкой и жидкостью), как в обычной задаче об обтекании вязкой жидкостью. Распределение давления определяется затем как сумма ро + р„ + p_s-

Для определения же распределения температуры пишем в уравнении (139,6) (с р из (139,14)) v_s = v"(p_s и интегрируя находим

^vl Рп ^d(Ps

Р (р. Т) + — — — (v„ — v_s)² + = const.

Изменения температуры и давления в несжимаемой жидкости малы, и с точ­ностью до членов первого порядка пишем:

1* — Но = — s (Г — Г„) + (р — ро)

(Го, ро — температура и давление на бесконечности). Подставляя это выра­жение в написанный интеграл уравнения и вводя р_и и р», получим:

° PS L Pn Ps 2 j'

§ 141. Распространение звука в сверхтекучей жидкости

Применим уравнения гидродинамики гелия II к распростра­нению звука в этой жидкости. Как обычно, в звуковой волне скорости движения предполагаются малыми, а плотность, дав­ление, энтропия — почти равными своим постоянным равновес­ным значениям. Тогда систему гидродинамических уравнений можно линеаризовать — в (139,12—14) пренебрегаем квадра-

тичными по скорости членами, а в уравнении (139,5) можно вы­нести в члене div(psv„) энтропию ps из-под знака div (поскольку этот член уже содержит малую величину v„). Таким образом, система гидродинамических уравнений приобретает вид

i£- + divj = 0, (141,1)

-^- + psdivv_ra = 0, (141,2)

|f + Vp = 0, (141,3)

^ + _V(i=-0. (141,4)

Дифференцируя (141,1) по времени и подставляя (141,3), по­лучаем:

= Ар. (141,5)

Согласно термодинамическому соотношению dp. = —s dT -f- dp/p имеем:

Vp = psVr + pVu. Подставляя сюда Vp из (141,3) и Vp из (141,4), получим: P«-|-(v„-v,) + psvT = 0.

Применяем к этому уравнению операцию div, а для div(v» — v_n) подставляем выражение

р ds p_ss dt

следующее из равенства

ds 1 d{ps) sdp,. I Si. m sps.., 4

~dT⁼⁼~p~~~di -р-5Г = —sdiv v„-f--divj = —div(v_s —v„).

В результате получаем уравнение

-ё-^пйг^- ^(l4li6)

Уравнения (141,5) и (141,6) определяют распространение звука в сверхтекучей жидкости. Уже из того факта, что этих уравнений — два, видно, что существуют две скорости распро­странения звука.

Напишем s, р, р, Т в виде s — so + s', р — р₀ -f- р' и т. д., где буквы со штрихом представляют собой малые изменения со­ответствующих величин в звуковой волне, а величины с индек­сом нуль (который мы ниже для краткости опускаем)— их постоянные равновесные значения. Тогда можно написать:

и уравнения (141,5) и (141,6) принимают вид

др д²р' _Лп,, dp &Г___n ds д*_Р'_дз_д*Г Pss² _Ат,__п dp dt^{2 ар} ~г дТ df ~~^и' др ~ж ~г дТ dt² р7"^лу —^и-

Ищем решение этих уравнений в виде плоской волны, в ко­торой р' и V пропорциональны множителю е-«ю«-*/и) (скорость звука обозначаем здесь посредством и). В качестве условия со­вместности обоих уравнений получаем уравнение

д(7\ р) V 6Т ¹ р_п др) ¹ р„

(где d(s, р)/д(Т,р) обозначает якобиан преобразования от s, р к Т, р). Путем простого преобразования с использованием тер­модинамических соотношений этому уравнению можно придать вид

l V dp J_s р„с₀ J ¹ р„с„ \др /_т ^у '

(c_v— теплоемкость единицы массы). Это квадратное (по и²) уравнение определяет две скорости распространения звука в ге­лии II. При p_s = 0 один из корней этого уравнения обращается в нуль, и мы получаем, как и должно было быть, всего одну обычную скорость звука и² = (др/др) _s.

Фактически теплоемкости с_р и c_v гелия II при температурах, не слишком близких к Я-точке, близки друг к другу (ввиду ма­лости коэффициента теплового расширения). Согласно извест­ной термодинамической формуле в этих условиях близки друг к другу также и изотермическая и адиабатическая сжимаемости:

(др\ ₌ /др_\ ^ (др\ \ др)т V dp), с_р ~ V др),'

Обозначив общее значение с_р и c_v посредством с, а общее зна­чение (др/др) т и (др/др) _s просто как др/др, получим из урав­нения (141,7) следующие выражения для скоростей звука:

»i-V1F-*-V?F- ^(14,'⁸⁾

Одна из них, mi, почти постоянна, а другая, и₂, сильно зависит от температуры, обращаясь вместе с p_s в нуль в А,-точке').

') О распространении звука в смесях жидкого 'Не с ⁸Не — см. главу XIII указанной на стр. 719 книги И. М. Халатникова.

Вблизи л-точки, однако, коэффициент теплового расширения не мал и пренебрегать разницей между с_р и c_v нельзя. Чтобы получить формулу для U2 в этом случае, следует опустить вто­рой член в квадратной скобке в (141,7) (содержащий p_s) и член и⁴, который в этом случае мал (так как и₂ стремится к нулю). Кроме того, можно положить р„ да р. В результате получим:

Для скорости же и\ получается формула (141,8), где под др/др следует понимать (dp/dp)_s, т. е. обычная формула для скорости звука.

По поводу формулы (141,9) следует заметить, что она при­менима лишь при достаточно низких частотах —тем более низ­ких, чем ближе жидкость находится к Х-точке. Дело в том, что (как было уже упомянуто в примечании на стр. 717) вблизи лоточки неограниченно возрастает время релаксации т параметра порядка; формула (141,9), не учитывающая дисперсии и погло­щения звука, справедлива лишь при условии on <С 1. Что ка­сается скорости Ui, то вблизи Я-точки появляется дополнитель­ное затухание, связанное с релаксацией параметра порядка — в соответствии с общими утверждениями в § 81.

При самых низких температурах, когда почти все элементар­ные возбуждения в жидкости являются фононами, величины р„, с, s связаны друг с другом соотношениями ^])

c = 3s, Р„ = —тР.

Эй,

a p_s «р. Подставив эти выражения в формулу (141,8) для u_2t, найдем:

ы₂ = ы,/л/3.

Таким образом, при стремлении температуры к нулю скорости и\ и и? стремятся к постоянным пределам, причем так, что их отно­шение стремится к л/Ъ ■

Для лучшего выяснения физической природы обоих видов звуковых волн в гелии II рассмотрим плоскую звуковую волну (Е. М. Лифшиц, 1944). В такой волне скорости v_s, v_n и перемен­ные части 7', р' температуры и давления пропорциональны друг-другу. Введем коэффициенты пропорциональности согласно

v„ = av_s, p' = bvs, T' = cv_s. (141,10)

') Их легко получить из формул для термодинамических величин ге­лия II, приведенных в IX §§ 22, 23.

Простое вычисление с помощью уравнений (141,1—6), произве­денное с должной степенью точности, дает

Рр "?«2, Р7и?

^ = 1-^----------- —-------- — ь_х=ри_ь с_х = -

(141,11)

Ps* ("i — ч) ^с\^и\ — ч)

9s РР»1»2. _ PP"f»2 ______ «2_

Т 12 2\» 2 /2 2\ ' ^с2

Р„ «Рл («l-"2) ^S(«l-«2) ^s

здесь В = — — температурный коэффициент расширения;

ввиду его малости величины, содержащие В, малы по сравнению с соответствующими величинами, не содержащими В.

Мы видим, что в звуковой волне первого типа v„ да v_s, т. е. в такой волне в каждом элементе объема жидкость колеблется в первом приближении как целое; нормальная и сверхтекучая массы движутся вместе. Естественно, что эти волны соответ­ствуют обычным звуковым волнам в обычных жидкостях.

В волне же второго типа имеем v„ *»—~v_s, т. е. полная

Рга

плотность потока вещества

j = PsVs + PnVn» 0.

Таким образом, в волне второго звука сверхтекучая и нормаль­ная массы жидкости колеблются навстречу друг другу, так что в первом приближении их центр инерции в каждом элементе объема остается неподвижным и суммарный поток вещества от­сутствует. Ясно, что этот вид волн специфичен для сверхтекучей жидкости.

Между обоими видами волн имеется и другое существенное отличие, видное из формул (141,11). В звуковой волне обычного звука амплитуда колебаний давления относительно велика, а амплитуда колебаний температуры мала. Напротив, в волне второго звука относительная амплитуда колебаний температуры велика по сравнению с относительной амплитудой колебаний давления. В этом смысле можно сказать, что волны второго зву­ка представляют собой своеобразные незатухающие температур­ные волны').

В приближении, в котором тепловым расширением пренебре-гается вовсе, волны второго звука представляют собой чисто температурные колебания (с j = 0), а волны первого звука — ко­лебания давления (с v_s —v_n). Соответственно их уравнения дви­жения полностью разделяются: в уравнении (141,6) пишем s' = сТ'/Т и получаем:

^1 = 4\Г, (141,12)

') Они не имеют, разумеется, ничего общего с затухающими «темпера­турными волнами» в обычной теплопроводящей среде (§ 52), а в уравнении (141,5) полагаем р' = ^р' и получаем:

!£ = «?ЛР'. (141,13)

С описанными свойствами звуковых волн в гелии II тесно свя­зан и вопрос о различных способах их возбуждения (Е. М. Лиф-шиц, 1944). Обычные механические способы возбуждения звука (колеблющимися твердыми телами) крайне невыгодны для по­лучения второго звука в том смысле, что интенсивность излу­чаемого второго звука ничтожно мала по сравнению с интен­сивностью одновременно излучаемого обычного звука. В гелии II возможны, однако, и другие, специфические для него способы возбуждения звука. Таково излучение твердыми поверхностями с периодически меняющейся температурой; интенсивность излу­чаемого второго звука оказывается здесь большой по сравне­нию с интенсивностью первого звука, что естественно ввиду ука­занного выше различия в характере колебаний температуры в этих волнах (см. задачи 1 и 2).

При распространении волны второго звука большой ампли­туды его профиль постепенно деформируется в результате эф­фектов нелинейности, и это приводит в конце концов к возник­новению разрывов — как и для обычного звука в обычной гид­родинамике (bp. §§ 101,102). Рассмотрим эти явления для одно­мерной бегущей волны второго звука (И. М. Халатников, 1952).

В одномерной бегущей волне все величины (р, р, Т, v_s, v_n) мо­гут быть выражены в виде функций от одного параметра, в ка­честве которого может быть выбрана,например, одна из самих этих величин (§ 101). Скорость U перемещения точки профиля волны равна производной dx/dt, взятой при определенном значе­нии этого параметра. Производные по координате и времени от каждой величины связаны друг с другом соотношением d/dt = = —Уд/дх.

Вместо скоростей v_s и v_n будет удобнее пользоваться вели-
чинами v = //р и w — Vn — v_s\ выбираем такую систему коорди-
нат, в которой скорость и в данной точке профиля волны равна
нулю. Гидродинамические уравнения (139,3—6) (с П, р, р, s из
формул (139,12—15)) приводят к следующей системе урав-
нений:,, др,,, о д р_п i, / п „,,,,,
~^U~dJ^p —-ЪТ -у" ^ww +Р^{и ==0}' (141,14)

_p' _{+ 2}£^ww'-Upv' = 0, (141,15)

Р

[- pU -ffr 4- w -jj (p_ss)] r + 8w2§f-p' + [p_ss - Uw-p-] w' = 0,

(141,16}

[- ps + Uw -f^] Г + [l + Uwp-t ±f\p' + [p_nU - i^iw]w' -

~[Up + wp_n]v' = Q. (141,17}

Здесь опущены все члены выше второго порядка малости, а также все члены, содержащие коэффициент теплового расшире­ния; штрих означает везде дифференцирование по параметру¹).

В волне второго звука относительная амплитуда колебаний р и v мала по сравнению с амплитудами Т и ш; поэтому можно опустить также и члены, содержащие wp', wv'. Для определения U достаточно рассмотреть уравнение (141,16) и разность урав­нений (141,15) и (141,17). Условие совместности получающихся таким образом двух линейных уравнений для Т и w' приводит к квадратному уравнению

откуда

ⁱ VP р«с дТ)

Здесь и₂ — местное значение скорости второго звука, меняющееся от точки к точке профиля волны вместе с отклонением 67 темпе­ратуры от ее равновесного значения. Разлагая и₂ по степеням 67, получим

"₂ = "го + 17-67 = u₂₀ + -gf-^^r а».

где «го — равновесное значение и₂. Окончательно получим

(/ = ы₂₀ + ш-^_ж1п^-. (141,18)

При достаточно сильном искажении профиля волны в ней возникают разрывы (ср. § 102) — в данном случае температурные разрывы. Скорость распространения разрыва равна полусумме скоростей U с обеих сторон разрыва, т. е. равна

_Wl + w₂ p_ssT д и\_йс
с₂о-\------- 2------- рТ"дТ^{п^Г~' (141,19)

где w\, w₂ — значения w на обеих сторонах разрыва.

Коэффициент при w в выражении (141,18) может быть как положительным, так и отрицательным. В зависимости от этого точки с большими значениями w либо опережают, либо отстают от точек с меньшими значениями w, а разрыв соответственно возникает либо на переднем, либо на заднем фронте волны (в противоположность обычному звуку, где ударная волна воз­никает всегда на переднем фронте).

') А не переменную часть колеблющихся величин, как эТо было выше.в этом параграфе!

Задачи

1. Определить отношение интенсивностей излучения первого и второго
звуков плоскостью, совершающей колебания в перпендикулярном к себе на-
правлении.

Решение. Ищем скорости v_s (направленные по нормальной к плоскости оси х) в первой и второй излучаемых волнах соответственно в виде

u_9l = А_} cos» (/ — */«,), v_s2 — А₂ cos и (t — лг/и₂1.

На поверхности колеблющейся плоскости скорости v_s и v„ должны быть рав­ными скорости ее колебаний (которую обозначим посредством ч₀ cos иг). Это дает уравнения

А, + A₂ = v₀, a,A, + a₂A₂ = v₀

(коэффиценты at, a₂ — из (141,11)). Средняя (по времени) плотность энергии в звуковой волне в гелии II равна

Ps^vl + Pn^vl ■= 4" ^{А% (р}* + ^pn^fl2);

поток энергии (интенсивность) получается последующим умножением на со­ответствующую скорость звука и. Для отношения интенсивностей излучае­мых волн второго и первого звуков получаем:

Л ^А\(P_s + Pn^al)"l ^си\

(здесь предположено, что и₂ < Hi, что справедливо вплоть до очень низких температур). Это отношение весьма мало.

2. То же для излучения звука от поверхности с периодически меняющей-
ся температурой.

Решение. Достаточно написать граничное условие / == 0, которое долж­но иметь место на неподвижной поверхности. Оно дает

Р.)д1 + Ps ___ £_

p_s (А, + А₂) + р„ (а,/4, + а,А_г) = О,

откуда

А

Для отношения интенсивностей находим:

h._ с

/, ПУи.и, ^-

Это отношение весьма велико.

3. Определить скорость звука, распространяющегося вдоль капилляра,,
диаметр которого мал по сравнению с глубиной вязкого проникновения
t> ~ (п/р«<о)^1/2 (К. R. Atkins, 1959)»)•

Решение. В указанных условиях можно считать, что нормальное дви­жение в капилляре полностью задерживается трением о стенки (v„ = 0)-

') Эти волны принято называть четвертым звуком. Третьим звуком на­вивают волны, распространяющиеся по пленке гелия II на твердой поверх­ности; существенную роль в них играют силы вандерваальсового взаимо­действия жидкости в пленке с твердым телом.

Система линеаризованных уравнений (141,1—2), (141,4) принимает вид¹) р' + p_s div v_s = 0, v_s + Vn' = v_s - sVT' + -i- Vp' = 0. (sp)- = ps' + sp' = 0

{штрих означает переменную часть величин в волне). Снова пренебрегая теп­ловым расширением жидкости, находим из третьего уравнения

p's/«² = — Трс/Т.

Исключив теперь v_s из первых двух уравнений, получим волновое уравнение р' — и²Ар' = 0, в котором скорость распространения и дается формулой

„2 _ Р«„2. Р«„2

U = U. -\ Un.

р ¹ ^ р ¹

4. Найти коэффициенты поглощения первого и второго звуков в гелии II.

Решение. Вычисление осуществляется аналогично тому, как это было сделано в § 79 для звука в обычных жидкостях; при этом вместо (79,1) используется выражение (140,10). В пренебрежении всеми членами, содер­жащими температурный коэффициент расширения $ (в том числе в (141,to­ll)), получим для коэффициентов поглощения:

2р«? V 3)2рр„«? I, 3 p_sc)

') Уравнение же сохранения импульса (141,3) следует опустить: оно не имеет места в рассматриваемых условиях, когда к капилляру должна при­лагаться внешняя сила, чтобы удерживать его покоящимся.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ¹)

Автомодельность 213, 510, 659

Адиабата Гюгонио 457

— Пуассона 448

— Тауба 700

559, 564, Звуковая аналогия 643, 658 — точка ударной адиабаты

Бародиффузия 326

— в идеальном газе 329*

Излучение звука из трубки 416* Изэнтропическое течение 18 Инерционный интервал турбулентно­сти 191 Интеграл Лойцянского 200 — ошибок 287

Векторное поле системы 163 Влажный пар, звук в нем 355* Волновая зона при излучении звука 396

Волновое сопротивление 52, 643, 654 Волновой пакет звуковой 359, 367 — цуг звуковой 359, 367

Гидравлическое приближение 414, 569

Годографа преобразование 607 Головная ударная волна 638

Давление звука при отражении 364* Дефлаграция 662

Диск, вращающийся в жидкости 112, 128*

Диффузорное течение 113 Длина пути перемешивания 214

Капиллярная постоянная 336 Капля, движение в другой жидкости 99*

Комплексная амплитуда 354 Комплексный потенциал 40 Конвекция в трубе 317* Контактный разрыв 453 Конфузорное течение 113, 230* Коэффициент вязкости 72

— поверхностного натяжения 333

— подъемной силы 260

— сопротивления 228, 250, 255

— теплопроводности 271 Краевой угол 339*

Критическая скорость сжимаемого газа 447

— точка при обтекании 38, 44*, 230*

Линии тока 24, 35 Ляпуновские показатели 168

Завихренность 31

— за ударной волной 598

Закон Колмогорова — Обухова 189

Малые колебания в идеальной жид­кости 34, 54*

') Этот указатель дополняет оглавление книги, не повторяя его. В указа­тель включены термины, понятия и задачи, непосредственно не отраженные в оглавлении. Звездочкой отмечены страницы, относящиеся к задачам.

Маховское отражение ударной волны 588

Местная сверхзвуковая зона 641 Мультипликатор периодического дви­жения 156

Напряжения Рейнольдсовы 247 Неизэнтропическое течение 31* Нейтральной устойчивости кривая 149, 239

Нестационарная волна разрежения 513

Неустойчивость абсолютная 148

— глобальная 152

— конвективная 148

Обертоны в звуковой волне 535, 542* Обтекание угла идеальной жидкостью 45*

------ турбулентное 210

— цилиндра вязкой жидкостью 94 идеальной жидкостью 43*

— шара вязкой жидкостью 89

------ идеальной жидкостью 42*

Опрокидывание профиля волны 529 Отображение Пуанкаре 170 Отражение волны разрежения от

стенки 556*

— звука от тангенциального разрыва 454*

------ от ударной волны 478*

Перемежаемость турбулентности 183, 210

Переменные Лагранжа 19*
Пленка жидкости 338*, 340*
Плотность потока массы 16
------ энтропии 18

Поглощение звука в жидкой смеси 429*

------ малым шариком 429*

------ при отражении 427*

Подвижность 330

Подслой вязкий 246

Подъемная сила 51, 220, 260, 650,

653, 659, 660* Показатель адиабаты 448 Политропный газ 447 Постоянная Кармана 244

— Ландау 140 Поршневая аналогия 659 Предельная точка 155

— линия 609

— характеристика 625

Предельный цикл 155 Принцип Онсагера 324 Присоединенная масса 51 Простая волна 528, 603

— — релятивистская 699*

------ центрированная 543, 603

Прыжок воды 570

Самовозбуждение жесткое, мягкое 141

Седловые траектории 165 Сечение рассеяния 419 Скачок уплотнения 456 Скорость групповая 369

— фазовая 369

Смена устойчивостей 145 Соотношение Эйнштейна 332 Сопло Лаваля 504 Спиновая детонация 684 Струя вязкой жидкости, затопленная 118

— идеальной жидкости, плоская 46* Субстанциональная производная 17

Тангенциальный разрыв в поле тяже­сти, устойчивость 345*

— — на мелкой воде 571*

— слабый разрыв 502 Температуропроводность 277 Тензор напряжений 71

------ ■ вязкий 71

Тепловой взрыв 279 Тепловые волны 290 Теплопроводность 271

— нелинейная 283

— при обтекании шара 280*, 305*

------ течении по трубе 295*, 304*

Термодиффузия 326

Течение Куэтта 85

— между вращающимися шарами 98

— Пуазейля 82 Толщина вытеснения 228 Точка Чепмена — Жуге 673 Турбулентная вязкость 187

— струя нагретая 309*, 310*

— теплопроводность 296 Турбулентности масштаб внешний 185

— внутренний 190

Турбулентные пульсации температу­ры 299, 301* Тэйлоровские вихри 145

Угол атаки 259

— Маха 442

— скольжения 654 Ударная поляра 485

Уравнение адиабатичности течения 18

Уравнение Бюргерса 492, 495*

— Осеена 94

— Прандтля 224 Условие Чаплыгина 261 Устойчивость пламени 668*

— тангенциальных разрывов в сжи­маемом газе 453*

Формула Лапласа 334 — Стокса 92

Фрактальная размерность 167 Функция тока 39, 95

Число Грассхофа 308

— Маха 442

— Нуссельта 294

— Пекле 293

— Рейнольдса 87

— — критическое 138

—--------, энергетическая оценка 142*

— Рэлея 308

— Струхала 89

— Фейгенбаума 175

Шероховатые поверхности 248, 251 Ширина слабого разрыва 502, 517*

Характеристическая поверхность 443 Химический потенциал смеси 321

Эйконал 365 Эффект Доплера 371

Строка

Напечатано

Должно Сыть

59 60

155 156

163 186 199

237 269

338 357

452 466

467 475

480 481

8-я сверху

2-я сверху

7-я сверху

ф-ла (41,11)

ф-ла (41,14)

ф-ла (2) 11-я

сверху

16-я сверху 8-я снизу

8-я

сверху

9-я сверху

7-я сверху

14-яснизу

10-я снизу 9-я сверху

3-я снизу ф-ла (2)

ф-ла (4)

12-я сверху

6-я сверху 17-я снизу

3-я снизу

л-системе

1'

cos % ' Ym (в, <р) ■

ц-системе

cos V =-------------- —-----------------------

V

•••V2(1+ту••'

^к 2т + (<Г, -_m)sin²e, Ylm (е. Ф)

Q^{i\

Л/2

4л (/ + m)\

Л/2

совпадает с направлением

2*1,2 =

противоположен направлению

2b,fc₂ = /£₂, t_g2q> =

2cp elf 64 ^: 9л² ' "

.., 2М₂ = /Я£₂, tg 2ф =
_ 2ср

g + l,...

еН '

У² +

D_p +

A = g-/,... y² sec² о +...

у² sec² a -f ■. ■

64 9я²

In-

У*+...

/* = (1-е²)²

Указанный в решении задачи способ исключения ускорений из функции Лагранжа неверен, правильный способ дан в статье: Barker В. М., O'Connell R. F. — Canad. J. Phys., 1980, v. 58, p. 1659.

=... ft„

... b₂

Вз\ =...

c_a =... =... с, c^a =... =... c_T

■.. Bl2 = • • •, B\₃ '--

T^a =...

ft i...

.......(. + £-).

г²

...и_в = _т...

'²1.

"a=- -g"⁶--"^-

"...|-(--я)-|

Л = — p. = const

Я + p = 2Ci ds² =... -

X — p. = const

4 ' *²"W

6C,

^2p'rfy²-

X + p = 2Ci,.. ds²=...

Стр. | Строка I

Напечатано

	5-я снизу
	15-я сверху
	17-я сверху
	ф-ла (47,4)
	7-я сверху
	14-я сверху
	ф-ла (101,8)
	14-я снизу
	ф-ла (134,10)
	ф-ла (148,4)
	11-я сверху
	ф-ла (е, 9)

ОО

Дата добавления: 2014-11-07