Расстояние от точки до прямой

Взаимное расположение прямых на плоскости

и

    (k ₁ = k ₂)

l ₁ Ç l ₂ = М ₀ (k ₁ ¹ k ₂)

l ₁ || l ₂ ()

l ₁ º l ₂

М ₀(х ₀; у ₀), l: Ах+Ву+С= 0

(34)

Если l ₁ || l ₂, то их общие уравнения можно привести к виду

и тогда

(34¢)
Пример 2.1. Через точку М ₀(2;-3) провести прямые, параллельные осям координат.

Решение: Если l ₁||O x, то l ₁: y = b. Так как М ₀ l ₁, то . (координаты точки М ₀ должны удовлетворять уравнению прямой l ₁).

Если l ₂||O y, то l ₂: x = a. М ₀ l ₂ Þ x =2.

Ответ: y = -3, x =2.

Пример 2.2. На каком расстоянии от начала координат проходит прямая

3 x - 4 y - 10 = 0?

Решение: Воспользуемся формулой

.

Ответ: 2 ед.

Пример 2.3. Через точку М ₀(2;-3) провести две прямые, одна из которых параллельна, а другая – перпендикулярна вектору

Решение:

l ₁, М ₀(2;-3)Î l ₁ l ₁:, где (m, n) - направляющий вектор прямой l ₁. Получаем l ₁: или .

l ₂, М ₀(2;-3)Î l ₂ Þ

l ₂: или .

Ответ: , .

Пример 2.4. Найти площадь треугольника, образованного прямой

3 x - 7 y +21 = 0 и осями координат. Выполнить графическую иллюстрацию.

Решение: Приведем уравнение данной прямой к уравнению прямой в отрезках: 3 x - 7 y + 21 = 0 Þ 3 x - 7 y = -21 |: (-21).

, где a =-7, b =3 – отрезки с соответствующим знаком, отсекаемые прямой на осях координат.

Поскольку - прямоугольный с катетами 7 и 3

Þ кв.ед.

Ответ: 10,5 кв.ед.

Пример 2. 5. Написать уравнение прямой, проходящей через точки М ₁(4;-2) и М ₂(3;-1). Найти угол, образованный данной прямой с осью О х.

Решение: Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки:

(28) Þ или .

Запишем уравнение в виде

Þ Þ k = tga = -1 Þ .

Ответ: , a =.

Пример 2.6. Найти угол между прямыми и .

Решение:

, где k ₁ и k ₂ – угловые коэффициенты прямых.

или

или .

Тогда

Þ .

Ответ: .

Пример 2.7. Через точку пересечения прямых и провести две прямые, одна из которых параллельна, а другая – перпендикулярна прямой .

Решение: Найдем точку пересечения прямых a и b из системы уравнений:

Þ .

Найдем уравнение прямой l ₁ || l и проходящей через точку

l ₁ || l Þ k ₁ = k = -6, так как .

Воспользуемся формулой: (31) Þ

или .

Найдем уравнение прямой l ₂ ^ l и проходящей через точку :

l ₂ ^ l Þ k ₂ × k = -1 Þ .

Тогда или .

Ответ: , .

Пример 2.8. Найти точку В, симметричную точке А (-2;4) относительно прямой .

Решение:

Точки А и В симметричны относительно l Û и

(АМ=МВ, где М=(АВ)).

Составим уравнение прямой AB (l ^ AB, А (-2;4)Î AB)

Т.к. k_l =-3 и k_l × _×k = -1 Þ

(31) Þ

или .

Найдем координаты точки М=(АВ) Þ .

АМ=МВ Þ М - середина отрезка АВ Þ

Þ Þ Þ В (4, 6).

Ответ: В (4, 6).

Дата добавления: 2014-10-22