Угол между плоскостями

Расстояние от точки до плоскости

Взаимное расположение плоскостей

1.

2.

3. .

М ₀(х ₀; у ₀; z ₀)Î p, p: Ax+By+Cz+D= 0

(40)

Если p ₁ || p ₂, то их общие уравнения имеют вид

p_i: Ах+Ву+Cz+D_i=0, i=1,2 и тогда

(41)

Пусть плоскости p ₁ и p ₂ в ПДСК О xyz заданы уравнениями:

p ₁:

p ₂:

Углом между двумя плоскостями называют угол j между любыми двумя нормальными векторами плоскостей. Величина угла определяется по формуле:

(42)

Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части.

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

p ₁^ p ₂ Û Û .

Пример 2.9. Составить уравнение плоскости a, параллельной плоскости O xz и проходящей через точку М ₀(2;-5; 3).

Решение: По условию задачи a || O xz .

Поскольку координаты точки М₀(2;-5;3) удовлетворяют уравнению плоскости Þ или .

Ответ: .

Пример 2.10. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось O y и точку М₀(3, -1, 2).

Решение: Плоскость a проходит через ось O y Þ в общем уравнении плоскости D=0 и B=0 Þ .

Так как

Подставляем полученное выражение в уравнение плоскости:

.

Ответ: .

Пример 2.11. Найти объем пирамиды, отсекаемой плоскостью, заданной уравнением 2 x -3 y + z -12=0 от координатного угла. Выполнить графическую иллюстрацию.

Решение: Приведем уравнение плоскости к виду «в отрезках»:

Þ

– отрезки с соответствующим знаком, отсекаемые на координатных осях данной плоскостью и совпадающие с ребрами пирамиды OABC. Т.к. отрезки взаимно перпендикулярны, то

(ед.³).

Ответ: 48 ед.³

Пример 2.12. Составить уравнение плоскости a, проходящей через точку параллельно плоскости .

Решение:

a: .

Ответ: .

Пример 2.13. Через точку Р (7;-4;4) провести плоскость, перпендикулярную отрезку PQ, если Q (1;3;-2).

Решение: Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через данную точку Р, перпендикулярно вектору

(35) Þили .

Ответ: .
Пример 2.14. Составить уравнение плоскости b, проходящей через точки M ₁(1;1;1) и M ₂(2;3;4), перпендикулярно плоскости .

Решение:

1 способ. По условию и .

Тогда M ₁(1;1;1)Î b, тогда (31) Þ

Þ

Þ

b: 31 x + y - 11 z - 21=0.

2 способ. Поскольку имеются точки, лежащие в искомой плоскости , то достаточно найти вектор нормали .

Þ .

Þ .

Подставим найденное значение во второе уравнение:

.

Поскольку плоскость имеет множество нормальных векторов, то координаты любого из них можно найти с точностью до кратного множителя. Пусть, например, В =1, тогда А =31, С =-11 и .

Составим искомое уравнение:

(35) Þ Þ .

Ответ: 31 x + y - 11 z - 21=0.

Пример 2.15. Составить уравнение плоскости, параллельной вектору и отсекающей на осях O x и O y направленные отрезки .

Решение: Воспользуемся уравнением плоскости «в отрезках»:

, где с ¹ 0 (объясните почему).

a: 2 cx – 3 cy + 6 z = 6 с.

Так как , то нормаль плоскости Þ Þ

Þ Þ с = 6.

Получаем

.

Ответ: .

Пример 2.16. Найти расстояние между параллельными плоскостями , и расстояние от точки до каждой из плоскостей.

Решение: Найдем расстояние от точки М ₀ до плоскостей используя формулу (40)

.

Плоскости a ₁ и a ₂ параллельны, так как . Уравняем коэффициенты при неизвестных в уравнениях плоскостей, для чего уравнение плоскости a ₁ домножим на 2

Для нахождения расстояния между плоскостями воспользуемся формулой (41):

.

Ответ: 2,5; 2 и 4,5.

Пример 2.17. Вычислить угол между плоскостями и .

Решение: Для вычисления угла между плоскостями, найдем угол между нормальными векторами плоскостей.

Нормали плоскостей: и

(42) Þ Þ .

Ответ: .

Дата добавления: 2014-10-22