Множественная корреляция

Многофакторная линейная модель регрессии

Рассмотрим линейную форму многофакторных связей.

Общий вид многофакторного уравнения регрессии имеет вид:

(1)

где k -число факторных признаков.

Чтобы упростить систему уравнений множественной корреляции, необходимую для вычисления параметров уравнения (1), введем величины отклонений индивидуальных значений всех признаков от средних величин этих признаков.

Получаем систему k уравнений множественной регрессии:

Решая эту систему, получаем значения коэффициентов регрессии b_j. Свободный член уравнения вычисляется по формуле

.

Рассмотрим линейную модель зависимости результативного признака у от двух факторных признаков и. Эта модель имеет вид:

Для нахождения параметров и решается система нормальных уравнений:

Многофакторная система требует множество показателей тесноты связей, имеющих разный смысл и применение. Основой измерения связей факторными признаками является матрица парных коэффициентов корреляции, которые определяются по формуле:

На основе парных коэффициентов корреляции вычисляется наиболее общий показатель тесноты связи всех входящих в уравнение регрессии факторов с результирующим признаком – коэффициент множественной детерминации как частное от деления определителя матрицы на опрделитель матрицы ∆:, где

;

.

Этим способом можно определить коэффициент детерминации, не вычисляя расчетных значений результативного признака для всех единиц совокупности, если совокупность состоит из сотен и тысяч единиц.

Если же совокупность небольшая, то можно, как и в нелинейной корреляции, применять индекс корреляции для определения адекватности описания связи между рассмотренными в уравнении множественной регрессии факторными и результативным признаками:

.

Для определения тесноты связи двухфакторного уравнения регрессии вычисляются парные коэффициенты корреляции, и по формулам:

где;;.

После этих вычислений находят коэффициент множественной корреляции

Этот коэффициент находится в пределах от 0 до 1. Он оценивает тесноту связи показателя у с двумя факторами х₁, х₂ одновременно.

Задача.

Имеются следующие данные по 7 предприятиям концерна о прибыли (У – млн. тг.), выработке продукции на 1 работника (Х₁ - единиц) и доле продукции, производимой на экспорт (Х₂ - %), приведенные в таблице.

У	3,5	3,9	3,8	5,7	5,3	5,4	3,2
Х1
Х2

1. Найти параметры двухфакторного уравнения регрессии.

2. Вычислить множественный коэффициент корреляции.

3. Прогнозировать прибыль предприятий при увеличении выработки продукции на 20%.

Решение:

Система нормальных уравнений для определения коэффициентов уравнения множественной регрессии имеет вид:

Для определения необходимых значений сумм составим расчетную таблицу:

№
	3,5
	3,9					66,3	31,2
	3,8
	5,7					131,1	39,9
	5,3					111,3	21,2
	5,4					118,8	32,4
	3,2					38,4	28,8
Σ	30,8					557,9	193,5

Таким образом, получаем следующую систему нормальных уравнений:

Решим систему уравнений, используя метод Крамера:

,

,.

Тогда,,.

Получаем следующие уравнение регрессии

.

Следовательно, при увеличении выработки продукции на одного работника на 1 единицу, прибыль увеличится на 180 тыс. тг., увеличение доли продукции на экспорт на 1%, предприятия концерна потеряют в прибыли 90 тыс. тг. При нулевой выработке продукции на одного работника и нулевой доле продукции, производимой на экспорт, прибыль будет составлять в среднем 1,86 млн. тг.

Для вычисления индекса множественной корреляции составим расчетную таблицу, предварительно вычислив среднее значение параметра у:

.

№
	3,5			0,81	3,12	0,14
	3,9			0,25	4,2	0,09
	3,8			0,36	4,11	0,10
	5,7			1,69	5,37	0,11
	5,3			0,81	5,28	0,00
	5,4			1,00	5,28	0,01
	3,2			1,44	3,21	0,00
Σ	30,8			6,36		0,45

где - значения, полученные путем подстановки всех значений х₁ и х₂ в полученное уравнение регрессии.

Индекс корреляции определим по следующей формуле:

Связь между прибылью предприятий, выработкой продукции и долей продукции, производимой на экспорт очень тесная, следовательно, модель адекватно описывает представленные данные и может быть использована для прогнозирования прибыли предприятий концерна.

Если выработка продукции на одного работника увеличится на 20%, т.е. составит, то прогноз прибыли предприятий будет иметь следующее значение:

Вопросы и задания

1. По 30 регионам известны следующие данные о годовом потреблении мяса на душу населения (кг) y, доходе на душу населения за год (тыс. руб.) и годовом потреблении рыбы на душу населения (кг):

Требуется:

1. Построить линейное уравнение множественной регрессии.

2. Найти индекс множественной корреляции. Сделать вывод.

3. Прогнозировать потребление мяса при увеличении дохода населения на 25%.

2. По 10 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на работника (тыс. тг.) y от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%).

Номер предприятия	y
	7,0	3,9	10,0
	7,0	4,8	19,0
	8,0	5,4	19,0
	8,0	4,4	20,0
	10,0	6,8	20,0
	9,0	6,0	21,0
	11,0	6,4	22,0
	12,0	8,2	29,0
	14,0	9,6	32,0
	14,0	9,0	36,0

Требуется:

1. Построить линейное уравнение множественной регрессии.

2. Найти индекс множественной корреляции. Сделать вывод.

3. Прогнозировать выработку продукции при уменьшении удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих на 5%.

Глава 5. Временные ряды.

Дата добавления: 2014-10-22