Используем формулу расчета вероятности попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины Х

Найдем по таблице функции Лапласа (Приложение 2) значения Ф₀(z).

Значения Ф₀(+¥) в таблице нет. Однако известно, что Ф₀(z) ® 0,5 при

z ® + ¥.Уже при z = 5 Ф₀(z = 5) = 0,49999997» 0,5. Очевидно, что Ф₀(+¥) - величина бесконечно близкая к 0,5. Ф₀(-¥) - величина бесконечно близкая к -0,5.

По таблице функции Лапласа Ф₀(2) = 0,47725.

Отсюда: P(X>1250) = 0,5 - 0,47725 = 0,02275.

Итак, вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется больше 1250 кг, составляет 0,02275.

Проиллюстрируем решение задачи графически (рис.5.1).

Рис.5.1 Графическая интерпретация к примеру 5.1.

Итак, нам задана нормально распределенная случайная величина Х с математическим ожиданием а = 950 кг. и средним квадратическим отклонением s = 150 кг., то есть Х ~N(950;150²). Мы хотим найти вероятность того, что Х больше 1250, то есть определить Р(Х > 1250). Преобразуем Х в Z, и тогда искомая вероятность определится по таблице Приложения 2 стандартного нормального распределения. .

Точка z = 0 соответствует математическому ожиданию, то есть а = 950 кг.

б) Вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется меньше 850 кг - это, то же самое, что вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется в интервале от -¥ до 850 кг.

По условию: a = -¥, b = 850, а = 950, s = 150.

Для расчета искомой вероятности используем формулу расчета вероятности попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины Х.

Согласно свойству функции Лапласа:

-Ф₀(-¥) = Ф₀(+¥),

а Ф₀(-0,67) = -Ф₀(0,67).

Найдем по таблице функции Лапласа (Приложение 2) значения Ф₀(z).

Ф₀(+¥)» 0,5;

Ф₀(0,67) = 0,24857.

Отсюда: P(X < 850) = 0,5 - 0,24857 = 0,25143.

Вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется меньше 850 кг составляет 0,25143.

Проиллюстрируем решение задачи графически (рис. 5.2).

Рис.5.2. Графическая интерпретация к примеру 5.1.

По условию данной задачи точка на оси абсцисс (z = -0,67) соответствует х = 850, т.е. весу, равному 850 кг. Заштрихованная на графике площадь представляет собой вероятность того, что вес наудачу выбранной туши окажется меньше 850 кг, т.е. в интервале от -¥ до 850 кг.

в) Найдем вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется в интервале от 800 до 1300 кг.

По условию: a = 800, b = 1300, а = 950, s = 150.

Для расчета искомой вероятности используем формулу расчета вероятности попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины Х.

Согласно свойству функции Лапласа:

-Ф₀(-1) = Ф₀(1).

Найдем по таблице функции Лапласа (Приложение 2) значения Ф₀(z).

Ф₀(2,33) = 0,49010;

Ф₀(1) = 0,34134.

Отсюда: P(800 < X< 1300) = 0,49010 + 0,34134 = 0,83144.

Вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется в интервале от 800 кг до 1300 составляет 0,83144.

Проиллюстрируем решение задачи графически (рис. 5.3).

Рис.5.3. Графическая интерпретация к примеру 5.1.

По условию данной задачи точка на оси абсцисс (z = -1) соответствует х = 800, т.е. весу, равному 800 кг, а точка (z = 2,33) соответствует х = 1300, т.е. весу, равному 1300 кг. Заштрихованная на графике площадь представляет собой вероятность того, что вес наудачу выбранной туши окажется в интервале от 800 до 1300 кг.

На графике видно, что искомую вероятность, что вес наудачу выбранной туши окажется в интервале от 800 до 1300 кг, можно было найти другим способом. Для этого необходимо было найти вероятность того, вес наудачу выбранной туши окажется меньше 800 кг, а также- больше 1300 кг, Полученные вероятности – сложить и вычесть из единицы.

Так, вероятность того, вес наудачу выбранной туши окажется меньше 800 кг - это, другими словами, вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется в интервале от -¥ до 850 кг.

Вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется больше 1300 кг - это, другими словами, вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется в интервале от 1300 кг до +¥.

Отсюда, искомая вероятность того, что вес наудачу выбранной туши окажется в интервале от 800 до 1300 кг:

Р(800 < Х < 1300) = 1 - (P(X<800) + P(X>1300)) = 1 - (0,15866 + 0,0099) =

=1 - 0,16856 = 0,83144.

г) Найдем вероятность того, что вес случайно отобранной туши отклонится от математического ожидания меньше, чем на 50 кг, т.е.:

P(½X - 950½< 50) =?

Что значит: ½X - 950½< 50?

Это неравенство можно заменить двойным неравенством:

-50 < X - 950 < 50 или

950 - 50 < X < 950 + 50,

900 < X < 1000.

Следовательно:

P½X - 950½< 50) = Р(900 < Х < 1000).

А это вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины Х.

Отсюда:

Согласно свойству функции Лапласа:

-Ф₀(-0,33) = Ф₀(0,33).

Найдем по таблице функции Лапласа (Приложение 2) значения Ф₀(z).

Ф₀(0,33) = 0,1293.

Следовательно:

P(½X - 950½< 50) = Р(900 < Х < 1000) = 2 × 0,1293 = 0,2586.

Вероятность того, что вес случайно отобранной туши отклонится от математического ожидания меньше, чем на 50 кг, составляет 0,2586.

Эту задачу легче решить, используя формулу расчета вероятности заданного отклонения нормально распределенной случайной величины Х от своего математического ожидания:

где - D величина отклонения случайной величины Х от математического ожидания.

По условию D = 50; а = 950, s = 150.

Используя эту формулу, сразу получим:

P(½X - 950½< 50) = 2Ф₀(50 / 150) = 2Ф₀(0,33) = 2 × 0,1293 = 0,2586.

Проиллюстрируем решение задачи графически (рис. 5.4).

Рис.5.4. Графическая иллюстрация к задаче 5.1.

По условию данной задачи точка на оси абсцисс (z = -0,33) соответствует х = 900, т.е. весу, равному 900 кг, а точка (z = 0,33) соответствует х = 1000, т.е. весу, равному 1000 кг. Заштрихованная на графике площадь представляет собой вероятность того, что вес наудачу выбранной туши окажется в интервале от 900 до 1000 кг., т.е. отклонится от математического ожидания меньше, чем на 50 кг.

д) Найдем вероятность того, что вес случайно отобранной туши отклонится от математического ожидания больше, чем на 50 кг, т.е.:

P(½X - 950½> 50) =?

Это вероятность события, противоположного по отношению к событию: вес случайно отобранной туши отклонится от математического ожидания меньше, чем на 50 кг (P(½X - 950½< 50)).

Следовательно:

P(½X - 950½> 50) = 1 - P(½X - 950½< 50) = 1 - 0,2586 = 0,7414.

Вероятность того, что вес случайно отобранной туши отклонится от математического ожидания больше, чем на 50 кг, составляет 0,7414.

Можно использовать другой алгоритм решения.

Вероятность того, что вес случайно отобранной туши отклонится от математического ожидания больше, чем на 50 кг, - это вероятность того, что вес случайно отобранной туши будет или меньше (950 - 50 = 900) кг или больше (950 + 50 = 1000) кг.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем:

P(½X - 950½> 50) = P(X < 900) + P(X > 1000).

Отсюда:

P(½X - 950½> 50) = P(X < 900) + P(X > 1000) = 0,3707 + 0,3707 = 0,7414.

е) Найдем границы, в которых отклонение веса случайно отобранной туши от своего математического ожидания не превысит утроенного среднего квадратического отклонения.

В этом задании студентам предлагается проиллюстрировать правило трех сигм, которое можно сформулировать следующим образом:

Если случайная величина распределена по нормальному закону, то ее отклонение от математического ожидания практически не превышает ±3s.

Р(½Х - а ½<3s) = 2Ф₀(3) = 0,9973.

Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х от своего математического ожидания будет меньше 3s или, другими словами, вероятность того, что нормально распределенная случайная величина Х попадет в интервал (а - 3s; а + 3s), равна 0,9973.

Следовательно, вероятность того, что отклонение случайной величины от своего математического ожидания по абсолютной величине превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала и равна 0,0027. Другими словами, лишь в 27 случаях из 10000 случайная величина Х в результате испытания может оказаться вне интервала (а - 3s; а + 3s). Такие события считаются практически невозможными.

Формулу, описывающую правило трех сигм, несложно получить из формулы вероятности заданного отклонения нормально распределенной случайной величины Х от своего математического ожидания:

Если взять D = 3s, то получим D /s = 3.

Отсюда:

Р(½Х - а ½< 3s) = 2Ф₀(3) = 0,9973.

По условию задачи: а = 950; s = 150.

Правило трех сигм можно представить так:

Р(а - 3s < Х < a + 3s) = 2Ф₀(3) = 0,9973.

Интересующие нас границы - это границы интервала (а - 3s; a + 3s), т.е.:

а - 3s< Х < a + 3s,

950 – 3 × 150 < X < 950 + 3 × 150,

500 < X < 1400.

Дата добавления: 2014-10-22