Регрессионные модели парной корреляции

Линейный коэффициент корреляции

Парная корреляция

Шкала Чеддока

	0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99
Характеристика	Слабая	Умеренная	Заметная	Сильная	Очень сильная

Корреляционная зависимость между двумя количественными признаками х и y называется парной корреляций. В дальнейшем, рассматривая парную корреляцию, называем ее просто корреляцией.

Корреляция называется прямой (либо обратной), если при увеличении значений фактора значения результативного признака увеличиваются (либо уменьшаются). Для выявления прямой или обратной корреляции применяется метод параллельных рядов, метод группового среднего, графический метод и метод аналитического выравнивания.

Метод параллельных рядов применяется в случае, когда для каждого из значений фактора дано одно значение результативного признака. В первой строке таблицы записываются значения фактора в порядке возрастания, а во второй строке – соответствующие значения результативного признака. Полученные ряды чисел анализируются.

Метод группового среднего применяется в случае, когда для каждого или для некоторых значений фактора дано несколько значений результативного признака. В первой строке таблицы записываются значения фактора в порядке возрастания, а во второй строке – средние значения, соответствующих значений результативного признака. Полученные ряды чисел анализируются.

Графический метод позволяет наглядно выявлять корреляцию на графике, называемом полем корреляции. Поле корреляции состоит из точек с координатами, где – соответствующие значения признаков х и y.

Корреляция называется линейной, если при увеличении значений фактора значения результативного признака увеличиваются или уменьшаются равномерно. В случае линейной корреляции точки поля корреляции располагаются вдоль некоторой прямой линии а в случае нелинейной корреляции они располагаются вдоль некоторой кривой линии.

В случае линейной корреляции коэффициент k называется линейным коэффициентом корреляции, обозначается через r и вычисляется по формуле

. (9.1)

Коэффициент (9.1) не только оценивает силу линейной парной корреляции, но и указывает на ее направление: если (либо), то связь прямая (либо обратная).

Метод аналитического выравнивания состоит в построении регрессионных моделей.

Регрессионной моделью парной корреляции называется уравнение

, (9.2)

где f – некоторая математическая функция;

– параметры;

– значения фактора х;

– теоретические значения результативного признака, рассчитанные по формуле (9.2).

Значения параметров модели (9.2) определяются методом наименьших квадратов (МНК). Поэтому они называются МНК- оценками параметров. Для вычисления МНК-оценок параметров модели (9.2) надо:

1) записать функцию

, (9.3)

где n – число наблюдений;

2) вычислить первые частные производные функции (9.3) по параметрам и приравнять их к нулю;

3) решить полученную систему уравнений, называемую системой нормальных уравнений.

Решения системы нормальных уравнений являются искомыми МНК-оценками параметров.

Регрессионной моделью линейной корреляции является линейная модель

, i= 1 ,...,n. (9.4).

Формулы для вычисления МНК-оценок параметров линейной модели имеют вид:

,. (9.5)

Для анализа нелинейных корреляций применяют нелинейные регрессионные модели. Рассмотрим наиболее употребительные из них.

1. Полулогарифмическая модель:.

Эта модель является линейной относительно. Поэтому МНК-оценки параметров полулогарифмической модели вычисляются по формулам

,. (9.6)

2. Экспоненциальная модель:.

Логарифмирование обеих частей модели приводит к линейной модели. Поэтому МНК-оценки параметров экспоненциальной модели вычисляются по формулам

,;

,. (9.7)

3. Гиперболическая модель:.

Так как эта модель является линейной относительно, то МНК-оценки параметров гиперболической модели вычисляются по формулам

,. (9.8)

4. Параболическая модель:.

Решения системы

. (9.9)

являются МНК-оценками параметров параболической модели.

Адекватность регрессионной модели оценивается с помощью средней ошибки аппроксимации (приближения), вычисляемой по формуле

(9.10)

Модель признается адекватной, если ее ошибка (9.10) не превышает 15%.

В случае нелинейной корреляции коэффициент k называется индексом корреляции, обозначается через R и вычисляется по формуле

, (9.11)

где – общая дисперсия результативного признака

; (9.12)

– факторная дисперсия результативного признака

. (9.13)

Разность равна остаточной дисперсии

. (9.14)

Дисперсии, и характеризуют вариацию признака y, обусловленную влиянием соответственно всех факторов, фактора х и всех факторов, кроме фактора х.

Если фактор х не влияет на вариацию признака y, то факторная дисперсия равна 0 и, следовательно, индекс корреляции равен 0. В случае, когда на вариацию признака y влияет только фактор х, факторная дисперсия совпадает с общей дисперсией и индекс корреляции равен 1. Так как, то.

Число, выражающее долю факторной дисперсии в общей дисперсии, называется индексом детерминации (причинности).

Дата добавления: 2014-10-22