Необходимый объем выборки. Средняя и предельная ошибки выборочного среднего

Средняя и предельная ошибки выборочного среднего

Ошибкой выборочного среднего или ошибкой выборки называется абсолютная величина разности генерального и выборочного средних. Так как генеральное среднее неизвестно, ошибку выборки вычислить нельзя, но ее можно оценить с помощью предельной ошибки:

, (8.1)

где

- предельная ошибка выборки;

- средняя ошибка, вычисляемая по формуле, зависящей от вида выборки;

- доверительный коэффициент, значение которого находится по заданной вероятности р в специальных таблицах.

Доверительный интервал, в котором с вероятностью р находится генеральное среднее, имеет вид:

. (8.2)

Средняя ошибкамалой выборки вычисляется по формуле

, (8.3)

где дисперсия малой выборки, вычисляемая по формуле

. (8.4)

Предельная ошибка малой выборки вычисляется по формуле (8.1), где коэффициент находится по уровню значимости и числу в таблице критических точек распределения Стьюдента.

Приведем следующие формулы для вычисления средней ошибки m большой выборки ():

1) средняя ошибка m случайной повторной или бесповторной выборки вычисляется соответственно по формуле

или; (8.5)

2) средняя ошибка m типической повторной или бесповторной выборки вычисляется соответственно по формуле

или, (8.6)

где – средняя генеральных групповых дисперсий;

3) средняя ошибка m серийной повторной или бесповторной выборки вычисляется соответственно по формуле

или, (8.7)

где – генеральная межгрупповая (межсерийная) дисперсия;

r и R - число серий соответственно в выборке и в генеральной совокупности.

Генеральная дисперсия связана с выборочной дисперсией соотношением

. (8.8)

При больших значениях n генеральная дисперсия приближенно равна выборочной дисперсии.

Предельная ошибка большой выборки вычисляется по формуле (88.1), где коэффициент определяется из соотношения. где Ф – нормированная функция Лапласа.

Для применения выборочного метода надо знать необходимый объем выборки.

Выведем формулу для вычисления необходимого объема случайной повторной выборки. Возводя в квадрат обе части равенства

и умножая полученное равенство на число, получим искомую формулу

. (8.9)

Из формулы (8.9) следует, что для вычисления объема n надо задать предельную ошибку, доверительную вероятность и знать дисперсию изучаемого признака.

Заменяя в формуле (8.9) дисперсию средней внутригрупповых дисперсий и межсерийной дисперсией, получим соответственно формулы для вычисления необходимого объема повторной типической выборки и необходимого числа серий повторной серийной выборки:

и. (8.10)

Аналогично из формул:

, и

выводятся соответственно формулы для вычисления необходимого объема бесповторных случайной или механической выборки, типической выборки и необходимого числа серий серийной выборки:

, и. (8.11)

Дата добавления: 2014-10-22