Формула Бернулли

Повторные независимые испытания

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.

Если независимые повторные испытания проводятся при одном и том же комплексе условий, то вероятность наступления события А в каждом испытании одна и та же.

Описанная последовательность независимых испытаний получила название схемы Бернулли.

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Условимся, что вероятность события А в каждом испытании равна р. Следовательно, вероятность ненаступления события А также постоянна и равна q=1-p.

Вычислим вероятность того, что в п испытаниях событие А осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится раз. Важно подчеркнуть, что не требуется, чтобы событие А повторялось ровно k раз в определенной последовательности. Например, если речь идет о появлении события А два раза в трех испытаниях , то возможны следующие сложные события:

, т.е. .

Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в п испытаниях событие А наступит k раз и не наступит раз, по теореме умножения вероятностей для независимых событий равна Таких сложных событий столько, сколько можно составить сочетаний из п элементов по k элементов, т.е. Так как эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий, т.е. вероятности одного сложного события, умноженной на их число:

(13) - формула Бернулли.

Пример. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найти вероятности возможного числа появления бракованных деталей среди 5 отобранных.

Решение. Вероятность изготовления бракованной детали р = 1-0,8 =0,2. Искомые вероятности находим по формуле Бернулли:

Полученные вероятности изобразим графически точками с координатами (k,Р_п(k)). Соединяя эти точки, получим многоугольник или полигон распределения вероятностей (Рис.1).

Рис.1

Рассматривая многоугольник распределения вероятностей, мы видим, что есть такие значения k (в данном случае k₀=1), обладающие наибольшей вероятностью. Число k₀ наступления события А в п независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если вероятность осуществления этого события Р_п(k₀) по крайней мере не меньше вероятностей других событий Р_п(k) при любом k. Для нахождения k₀ используют неравенство

np-q k₀np+q (14),

полученное при решении системы неравенств:

Р_п(k₀) Р_п(k₀+1),

Р_п(k₀) Р_п(k₀-1). (15)

Пример. Найдем наивероятнейшее число появления бракованных деталей из 5 отобранных и вероятность этого числа по данным примера

Решение. По формуле (15)

5 0,2 – 0,8 k₀ 5 0,2 + 0,2

0,2 k₀ 1,2

Единственное целое число, удовлетворяющее данному неравенству, k₀ = 1, а его вероятность была получена в примере 7.5.2.

Пример. Сколько раз необходимо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадения тройки было равно 10?

Решение. В данном случае р=. Согласно неравенству (15):

п - 10 п + ,

п – 5 10 п + 1,

59 п 65,

т.е. необходимо подбросить кость от 59 до 65 раз включительно.

Дата добавления: 2014-10-23