Показательное распределение

Нормальный закон распределения вероятностей. Нормальная кривая. Функция Лапласа. Вычисление вероятности попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Правило трех сигм. Показательное распределение. Функция надежности. Показательный закон надежности.

Определение. Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид:

Замечание. Таким образом, нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и σ.

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Выясним, какой вид имеет эта кривая, для чего исследуем функцию (6.1).

1) Область определения этой функции: (-∞, +∞).

2) f (x) > 0 при любом х (следовательно, весь график расположен выше оси О х).

3) то есть ось О х служит горизонтальной асимптотой графика при

4) при х = а; при x > a, при x < a. Следовательно, - точка максимума.

5) F (x – a) = f (a – x), то есть график симметричен относительно прямой х = а.

6) при , то есть точки являются точками перегиба.

Примерный вид кривой Гаусса изображен на рис.3.

х

Рис.3.

Найдем вид функции распределения для нормального закона:

Перед нами так называемый «неберущийся» интеграл, который невозможно выразить через элементарные функции. Поэтому для вычисления значений F (x) приходится пользоваться таблицами. Они составлены для случая, когда а = 0, а σ = 1.

Определение. Нормальное распределение с параметрами а = 0, σ = 1 называется нормированным, а его функция распределения

-

- функцией Лапласа.

Замечание. Функцию распределения для произвольных параметров можно выразить через функцию Лапласа, если сделать замену: , тогда .

Найдем вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на заданный интервал:

Пример. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами а = 3, σ = 2. Найти вероятность того, что она примет значение из интервала (4, 8).

Решение.

16.6.Правило «трех сигм».

Найдем вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет значение из интервала (а - 3 σ, а + 3 σ):

Следовательно, вероятность того, что значение случайной величины окажется вне этого интервала, равна 0,0027, то есть составляет 0,27% и может считаться пренебрежимо малой. Таким образом, на практике можно считать, что все возможные значения нормально распределенной случайной величины лежат в интервале (а - 3 σ, а + 3 σ).

Полученный результат позволяет сформулировать правило «трех сигм»: если случайная величина распределена нормально, то модуль ее отклонения от х = а не превосходит 3σ.

Определение. Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью

В отличие от нормального распределения, показательный закон определяется только одним параметром λ. В этом его преимущество, так как обычно параметры распределения заранее не известны и их приходится оценивать приближенно. Понятно, что оценить один параметр проще, чем несколько.

Найдем функцию распределения показательного закона:

Следовательно,

Теперь можно найти вероятность попадания показательно распределенной случайной величины в интервал (а, b):

.

Значения функции е^-х можно найти из таблиц.

16.8.Функция надежности.

Пусть элемент (то есть некоторое устройство) начинает работать в момент времени t₀ = 0 и должен проработать в течение периода времени t. Обозначим за Т непрерывную случайную величину – время безотказной работы элемента, тогда функция F (t) = p (T > t) определяет вероятность отказа за время t. Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время равна

R (t) = p (T > t) = 1 – F (t).

Эта функция называется функцией надежности.

Дата добавления: 2014-10-23