Постоянные финансовые ренты

Поток платежей, все члены которого положительные величины, и временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой или аннуитетом.

Если платежи осуществляются в конце временных перидов, то ренты называют обыкновенными или постнумерандо, если платежи производятся в начале временных интервалов, то их называют пренумерандо.

Наращенная сумма потока платежей – сумма всех платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты, может быть рассчитана по следующей формуле прямого счета:

, (6.1)

где FVA – наращенная сумма потока платежей;

R_t – размер члена ренты, т.е.размер очередного платежа по ренте;

i – годовая процентная ставка, по которой на платежи начисляются сложные проценты;

n – срок реализации ренты в годах;

n_t – сроки платежей по ренте.

Современная (текущая) стоимость потока платежей (капитализированная или приведенная стоимость) – это сумма платежей, дисконтированных на момент начала ренты по ставке начисляемых сложных процентов, может быть рассчитана по следующей формуле прямого счета:

(6.2)

где PVA – современная стоимость потока платежей.

Методом прямого счета можно найти наращенную сумму и современную стоимость любого потока платежей, в том числе и постоянной ренты, но удобнее для расчета использовать компактные формулы, приведенные в приложении Д. Приведем вывод формул для годовых рент постнумерандо.

Наращенная сумма годовой ренты постнумерандо. Пусть в течении n лет в конце каждого года в банк вносится по R грн. На взносы начисляются сложные проценты по ставке i % годовых. Таким образом, есть рента, член которой R, а срок n. Все члены ренты, кроме последнего приносят проценты – на первый член проценты начисляются (n-1) год, на второй – (n-2) и т.д. Наращенная к концу каждого взноса сумма составит:

R*(1+i)^n-1, R*(1+i)^n-2 ,……, R*(1+i), R

Если полученный ряд переписать в обратном порядке, получим геометрическую прогрессию со знаменателем (1+i), первым членом R и числом членов прогрессии n. Наращенная сумма ренты равна сумме членов этой прогрессии:

(6.3)

где FVIFA_n.i – коэффициент наращения ренты, значения которого зависят от ставки процентов и срока ренты и рассчитывается по формуле:

Значения коэффициентов наращения финансовых рент представлены в приложении Е.

Пример 1. На счет в банке в течении пяти лет в конце каждого года будут вноситься суммы в размере 500 грн., на которые будут начисляться проценты по ставке 20 %. Определить сумму процентов, которую банк выплатит владельцу счета.

Решение:

Поскольку период ренты равен одному году, то это годовая рента; проценты начисляются один раз в год; взносы будут в конце периода ренты, постнумерандо, значит это обычная рента; сумма платежа постоянна на протяжении всего срока ренты, что характерно для постоянной ренты; число членов ренты пять, т.е. конечно, следовательно, ограниченная рента; а выплаты носят безусловный характер, таким образом, это верная рента.

Сумму всех взносов с начисленными процентами (наращенную сумму) найдем по формуле (6.3):

3720,8 грн.

Можно определить наращенную сумму постоянной ренты, воспользовавшись финансовыми таблицами (приложение Е), содержащими коэффициенты наращения ренты:

FVA = 500 * 7,4416 = 3720,8 грн.

Сумма взносов в течение 5 лет составит:

P = n * R = 5 * 500 = 2500 грн.

Следовательно, сумма начисленных процентов будет равна:

I = FVA - P = 3720,8 - 2500 = 1220,8 грн.

Таким образом, доход владельца счета за 5 лет составит 1220,8 грн.

Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо в общем виде определяется следующим образом:

(6.4)

Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо. Член ренты R, срок ренты – n, ежегодное дисконтирование. Дисконтированные величины платежей образуют последовательность:

R*(1+i)^-1, R*(1+i)^-2,……R*(1+i)^-n

Полученная последовательность представляет геометрическую прогрессию с первым членом R*(1+i)^-1, знаменателем (1+i)^-1 ичислом членов n:

(6.5)

где PVIFA_n,I – коэффициент приведения ренты, значения которых приведены в приложении Ж

Пример 2. Какую сумму необходимо положить в банк, чтобы в течение следующих трех лет иметь возможность ежегодно снимать со счета 12000 грн, исчерпав счет полностью, если банк начисляет на вложенные деньги проценты по ставке: а) 16 % годовых; б) 16 % ежеквартально; в) 16 % непрерывно.

Решение:

Данную операцию рассматриваем в виде годовой финансовой ренты, проценты начисляются по трем вариантам, необходимо определить современную стоимость финансовой ренты:

а) проценты начисляются ежегодно

Найдем современную стоимость, используя финансовые таблицы для нахождения коэффициента приведения ренты (приложение Ж)

PVA =12000*2,24589=26950,67 грн.

б) проценты начисляются ежеквартально

=26521,1 грн.

Найдем современную стоимость с помощью коэффициентов приведения (приложение Ж)

PVA = 12000*грн.

в) непрерывное начисление процентов

26365,74 грн.

Найдем современную стоимость, определив коэффициенты приведения по таблицам (приложение Ж)

PVA= 12000*2,19715=26365,74 грн.

Таким образом, на счет необходимо положить 26950,67 грн. при ежегодном начислении процентов; 26521,1 грн. при ежеквартальном начислении процентов; 26365,74 грн. при непрерывном начислении процентов.

Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо в общем виде определяется следующим образом:

(6.6)

Между современной величиной и наращенной суммой ренты существует определенная зависимость:

Пусть PVA - современная величина годовой ренты постнумерандо,

FVA - ее наращенная стоимость к концу срока n, p=1, m=1.

Покажем, что наращение процентов на сумму PVA за n лет дает сумму, равную FVA:

Дисконтирование FVA дает PVA:

Коэффициенты приведения и наращения ренты связаны следующими соотношениями:

Вечная рента – это ряд платежей, количество которых не ограничено. Наращенная сумма вечной ренты равна бесконечной величине. Современная стоимость вечной ренты – величина конечная и определяется как предел от современной стоимости обычной ренты при n →∞.

Пример 3. Предприятие собирается учредить фонд для выплаты стипендий студентам-отличникам в сумме 10000 ежегодно. Какую сумму должно предприятие положить в банк, чтобы обеспечить получение необходимой суммы неограниченно долго, если: а) банк выплачивает 16 % сложных годовых; б) банк выплачивает проценты ежеквартально по ставке 16 % годовых; в) банк выплачивает непрерывные проценты с силой роста 16 %.

Решение:

Суммы, которые необходимо положить на банковский счет представляют собой современную стоимость вечной ренты с разным начислением процентов. Для нахождения этих сумм необходимо найти соответствующие формулы современных стоимостей обычных рент, представленных в приложении Д, и найти предел этих формул.

а) Вечная рента с начислением процентов один раз в год. Формула современной стоимости обычной ренты с начислением процентов один раз в год:

Найдем предел этой формулы при неограниченном увеличении n:

Отсюда:

грн.

б) Вечная рента с начислением процентов ежеквартально. Формула современной стоимости обычной ренты с начислением процентов ежеквартально:

Найдем предел этой формулы при неограниченном увеличении n:

Отсюда:

грн.

в) Вечная рента с непрерывным начислением процентов. Формула современной стоимости обычной ренты с непрерывным начислением процентов:

Найдем предел этой формулы при неограниченном увеличении n:

Отсюда:

=57639,74 грн.

Таким образом, на счет необходимо положить 62500 грн. при ежегодном начислении процентов, 58872,51 грн. при ежеквартальном начислении процентов, 57639,74 грн. при непрерывном начислении процентов.

Наращенная сумма (современная стоимость) ренты пренумерандо определяется как произведение наращенной суммы (современной стоимости) соответствующей ренты постнумерандо на коэффициент, приведенный в таблице 6.1. для различных видов рент:

Таблица 6.1 – Коэффициенты для определения наращенной суммы и современной стоимости рент пренумерандо

Виды ренты	Начисление процентов
Один раз в год	m раз в год	Непрерывно
Годовая	(1+i)
p - срочная
r - срочная

Пример 4. Фирма создает резервный фонд в форме банковского депозитного вклада. Для этого в начале каждого месяца на протяжении 2-х лет вносится по 1000 грн. Банк начисляет проценты ежемесячно по сложной процентной ставке 20 % годовых. Определить размер фонда в конце срока операции.

Решение:

Размещение денег на депозитном вкладе в начале каждого месяца и с ежемесячным начислением процентов рассматривается как p-срочная рента пренумерандо, причем m=p, размер фонда в конце срока операции – наращенная сумма данной ренты, формула которой следующая:

Расчет произведем с помощью таблиц приложения Е

грн.

Таким образом на депозитном вкладе будет сумма 19292,2 грн.

Обобщающие характеристики (наращенная сумма и современная стоимость) для ренты, в которой поток платежей рассматривается как непрерывный процесс, получаются из формул (6.4) и (6.6) соответственно с помощью предельного перехода при .

При разработке контрактов и условий финансовых операций возникают ситуации. когда задана одна из характеристик – наращенная сумма или современная стоимость, а необходимо определить либо размер платежа по ренте, либо срок ренты, либо процентную ставку.

Пример 5. Для создания благотворительного фонда в сумме 100000 грн. за 2 года ежеквартально выделяется некоторая сумма денег, которую размещают на депозитный счет в банке под 16 % годовых. Начисляемых ежеквартально. Какую сумму необходимо размещать ежеквартально на депозитный счет?

Решение:

Ежеквартальное размещение денег на счете рассматривается как p- срочная (p=4) финансовая рента с начислением процентов ежеквартально, формула наращенной суммы данной ренты имеет следующий вид;

Найдем платеж по ренте:

Расчеты проведем по таблицам приложения Е.

грн

Таким образом, при ежеквартальном размещении на счете 11138,98 грн через 2 года будет создан фонд в 100000 грн.

Формулы для расчета срока постоянных рент постнумерандо приведены в приложении И.

Пример 6. О пределить, к акой срок необходим для погашения в рассрочку суммы 20000 грн,, при условии, что ежемесячно вносится по 1000 грн., а на накопления начисляются проценты ежемесячно по ставке 24 % годовых.

Решение:

По формуле определения срока современной стоимости p-срочной ренты с начислением процентов m раз в году (m=p) из приложения И:

2,15 года

Таким образом, для погашения в рассрочку 20000 грн. необходимо 2,15 года.

Для определения процентной ставки используется следующая интерполяционная формула:

(6.5)

где a_d и a_l – табличные значения коэффициентов наращения или приведения рент для верхнего и нижнего уровня ставок (i_d, i_l);

a - значение коэффициента наращения или приведения, для которого определяется размер ставки.

Пример 7. Предполагается путем ежегодных взносов постнумерандо по 7500 грн. в течение 4 лет создать фонд в размере 40000 грн. Какова должна быть годовая процентная ставка?

Решение: Данная операция рассматривается в виде годовой финансовой ренты, из формулы наращенной суммы годовой ренты с начислением процентов один раз в год, определяем коэффициент наращения:

Находим по таблицам коэффициентов наращения (приложение Е) диапазон процентных ставок, для которых коэффициенты наращения для срока 4 года находятся в интервале 19 % – 20 %.

FVIFA_4,19 =5,29126 (для процентной ставки 19 %)

FVIFA_4,20 =5,368 (для процентной ставки 20 %)

19,5 %

Таким образом, процентная ставка в 19,5 % позволит создать фонд в размере 40000 грн.

Дата добавления: 2014-10-31