Эквивалентность процентных ставок и обязательств

Эквивалентная процентная ставка – это ставка, которая для рассматриваемой финансовой операции даст точно такой же денежный результат (наращенную сумму или современную стоимость), что и применяемая в этой операции процентная ставка.

Определение эквивалентной ставки основывается на приравнивании множителей наращения или дисконтированием для различных вариантов начисления процентов.

Пример 1. Каковы будут эквивалентные номинальные процентные ставки с полугодовым и ежемесячным начислением процентов, если соответствующая им эффективная ставка должна быть равна 25 %?

Решение:

1.Находим номинальную ставку из формулы (3.4):

j = m* [(1 + i)^{1 / m} - 1]

2. Рассчитываем номинальную ставку для полугодового начисления процентов:

j= 2*[(1+0.25)^1/2-1]=0,2361

3. Рассчитываем номинальную ставку для ежемесячного начисления процентов:

j = 12* [(1 +0,25 i)^{1 /12} - 1] = 0,2252.

Таким образом, номинальные ставки 23,61 % с полугодовым начислением процентов и 22,52 % с ежемесячным начислением процентов являются эквивалентными.

Пример 2. Найти оптимальный вариант для размещения капитала на 4 года либо под сложную процентную ставку 18 % годовых с полугодовым начислением процентов, либо под простую процентную ставку 22 % годовых.

Решение:

Составляем уравнение эквивалентности в виде равенства коэффициентов наращения по простой и сложной процентным ставкам:

(1+i*n)=(1+j/m)^m*n

Находим для сложной процентной ставки эквивалентную простую ставку:

i = [(1 + j / m) ^{m* n} - 1] / n = [(1 + 0,18 / 2)^{2 • 4} - 1] / 4 = 0,2481.

Таким образом, эквивалентная сложной ставке по первому варианту простая процентная ставка составляет 24,81 % годовых, что выше предлагаемой простой ставки в 22 % годовых по второму варианту, следовательно, выгоднее разместить капитал по первому варианту, т.е. под 18 % годовых с полугодовым начислением процентов.

В практической деятельности часто возникает необходимость изменения условий ранее заключенного контракта – объединение нескольких платежей или замене единовременного платежа рядом последовательных платежей. Естественно, что в таких условиях ни один из участников финансовой операции не должен иметь убыток, вызванный изменением финансовых условий, поэтому изменение условий контрактов базируется на принципе финансовой эквивалентности платежей. Эквивалентными считаются такие платежи, которые будучи приведенными к одному моменту времени, оказываются равными. Приведение осуществляется путем дисконтирования (приведение к более ранней дате) или наращения суммы платежа (если эта дата относится к будущему). Решение подобных задач сводится к построению уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенная к какому-то одному моменту времени, приравнена к сумме платежей по новому обязательству, приведенному к тому же моменту времени.

На принципе эквивалентности платежей основывается сравнение разновременных платежей, рассмотренное в примерах 3 и 4 данного раздела.

Пример 3. Можно ли считать равноценными два обязательства со следующими условиями: первое – выплатить 15000 грн. через 4 месяца, второе – выплатить 18000 грн через 6 месяцев. Для сравнения использовать простую процентную ставку 20 % годовых.

Решение:

Для сравнения обязательств, рассчитаем современную стоимость каждого на начало операции по формуле (4.1).

PV₁= 15000*(1+0.2)^-4/12 = 14115.54 грн.

PV₂= 18000*(1+0.2)^-6/12 = 16431.68 грн.

Таким образом, сравниваемые обязательства не являются эквивалентными при заданной ставке.

Пример 4. Клиент положил в банк на текущий счет 1000 грн, Банк выплачивает проценты ежемесячно по ставке 2 % годовых. Через месяц клиент положил на счет 500 грн., через 2 месяца снял 400 грн., а через 6 месяцев после этого закрыл счет. Какую сумму клиент получил при закрытии счета?

Решение:

В соответствии с принципом эквивалентности платежей, суммарная современная стоимость снятых со счета денег равна современной стоимости вложенных денег, т.е.

1000+500*(1+0,02/12)^-12*1/12=400*(1+0,02/12)^-12*2/12+X*(1+0.02/12)^-2*8/12,

где X – сумма при закрытии счета.

Из этого уравнения находим X= 1115,26 грн.

Таким образом, при закрытии счета клиент получил 1115,26 грн.

Консолидация (объединение) платежей предполагает замену платежей S₁, S₂, S₃,…. S_k со сроками n₁ n₂,n₃,…..n _k одним в сумме S₀ и сроком n₀ . Для решения этой задачи составляется уравнение эквивалентности в виде равенства суммы объединенного платежа (S₀) сумме наращенных и дисконтированных платежей по первоначальным условиям. Размер консолидированного платежа определяется по следующим формулам:

а) простые проценты

(5.1)

б) сложные проценты

(5.2)

где S_j – размеры объединяемых платежей со сроками n_j < n₀,

S_k – размеры объединяемых платежей со сроками n_k > n₀,

Пример 5. Решено консолидировать два платежа со сроками 20.04 и 10.05 и суммами платежа 20000 грн и 30000 грн. соответственно. Срок консолидации платежей 31.05. Определить сумму консолидированного платежа при условии, что ставка равна 15 % простых годовых и временная база 360 дней.

Решение:

Определим временной интервал между сроками

1. первого платежа и консолидированного платежа:

t ₁= 11(апрель) + 31(май) - 1 = 41 день;

2. второго платежа и консолидированного платежа:

t ₂ = 22(май) - 1 = 21 день.

3. Сумму консолидированного платежа определим по формуле (5.1):

S_0.= 20000 * (1 + 0,15*41/360)+30000 * (1 + 0,15*21/360) = =50604,17 грн.

Таким образом, консолидированный платеж со сроком 31.05 составит 50604,17 грн.

Срок объединенного платежа определяется по следующим формулам:

а) простые проценты

(5.3)

б) сложные проценты

(5.4)

где PV – современная стоимость объединяемых платежей.

Пример 6. Платежив сумме 5000 грн. и 7000 грн. и сроками уплаты через 6 месяцев и один год объединяются в один суммой 13000 грн. Определить срок консолидированного платежа, если при консолидации используется сложная процентная ставка 17 % годовых.

Решение:

1. Определим современную стоимость объединяемых платежей:

PV= 5000* (1+0,17)^-6/12 + 7000*(1+0,17)^-1= 10605,41

2. Срок консолидированного платежа определяем по формуле (5.4):

1,3 года

Таким образом, платежи можно объединить в один с уплатой через 1,3 года.

Существуют различные варианты изменения условий финансового соглашения, и, в соответствии с этим. и многообразие уравнений эквивалентности. В общем виде уравнения эквивалентности при использовании сложной процентной ставки имеют следующий вид:

(5.5)

где S_q и p_q – платежи и сроки, в которые должны быть произведены эти платежи, по новым условиям договора;

R_k и t_k - платежи и сроки, в которые должны быть произведены эти платежи, по старым условиям договора;

v=1+i – если соответствующие платежи производятся ранее момента, к которому приводятся платежи;

v=(1+i)^-1 если соответствующие платежи производятся позднее момента, к которому приводятся платежи.

Пример 7. Две суммы 6000 грн. и 8000 грн. должны бать выплачены 1 ноября текущего года и 1 февраля следующего не високосного года. Обе стороны договора согласились пересмотреть порядок выплат следующим образом: 1 декабря выплачивают 7000 грн, остаток долга гасится 1 марта. Найти сумму погашающего остатка, если расчет осуществляется при ставке простых процентов, равной 18 % и временной базе K=365.

Решение:

За современный момент (дата операции, к которой будут приводится все платежи) возьмем момент выплаты 8000 грн. 1 февраля следующего года. Уравнение эквивалентности будет следующего вида: 6000*(1+0,18*94/365)+8000=7000*(1+0,18*61/365)+S*(1+0,18*28/365)^-1

Отсюда S= 7165,15 грн.

Таким образом, сумма погашающего платежа составит 7165,15 грн.

Дата добавления: 2014-10-31