Теорема Бернулли

Закон больших чисел

При испытаниях (опытах, наблюдениях) мы в большинстве случаев имеем дело не со всей совокупностью значений случайной величины, а с некоторой выборкой этих значений.

Среднее арифметическое этой выборки стремится к математическому ожиданию с увеличением ее объема.

Однако это свойство отличается от понятия сходимости, принятого в математическом анализе. Как известно, в детерминированной постановке сходимость означает безусловное приближение математической величины к некоторому пределу при неограниченном увеличении числа членов ряда этой величины.

В теории вероятностей стремление среднего арифметического случайной величины к ее математическому ожиданию обусловлено той или иной степенью вероятности этого. Причем, чем больше объем выборки, тем выше эта вероятность.

Это положение отражено в фундаментальном законе больших чисел, сформулированном Я. Бернулли и в более общем виде – П.Л. Чебышевым.

Если в каждом из n независимых испытаний вероятность P появления события A постоянна, то

(2.18)

Это означает, что частота появления события A стремится к его вероятности, т.е. при достаточно большом n разница между ними с заданной вероятностью будет сколь угодно мала. Это свойство называется «сходимостью по вероятности».

Контрольные вопросы

1.Перечислите свойства математического ожидания и дисперсии.

2.Назовитечисловые характеристики одинаково распределенных независимых случайных величин.

3.Сформулируйте закон больших чисел.

Дата добавления: 2014-10-31