Системы управления

Преобразование Лапласа матричного уравнения

Возьмем основное матричное уравнение системы: .

Рассмотрим сначала однородное матричное уравнение системы при U (t) = 0.

. Подвергнем его преобразованию Лапласа с учетом начальных условий, т.е. наличия вектора X (0) SX (s) – X (0) = AX (s).

Объединяя члены, содержащие изображение вектора X (s), получим

SX (s) – AX (s) = X (0) или (SI – A) X (s) = X (0), откуда X (s) = (SI – A)^-1 X (0), где I –единичная матрица. Матрица (SI – A)^-1 называется резольвентой матрицы А. Она определяется следующим образом:

(SI - A)^-1== .

Здесь det(SI – A) – определитель матрицы (SI – A); Ad_ij (SI – A) ^T – квадратная матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения элементов A_ij матрицы (SI – A) ^T; Ad_ji (SI – A) – матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения элементов A_ji матрицы (SI – A).

Матрица (SI–A) называется характеристической. Ее определитель det(SI –
– A) = D(s) называется характеристическим полиномом. Уравнение det(SI–A)=0 называется характеристическим уравнением.

Рассмотрим неоднородное матричное уравнение системы , Y(t) = CX(t). Подвергая преобразованию Лапласа, получим (принимая начальные условия X(0) = 0):

SX(s) = AX(s) + bU(s), X(s) = (SI – A)^-1BU(s), Y(s) = C(SI – A)^-1BU(s) = H(s)U(s),

где H(s) = C(SI – A)^-1B называется матричной передаточной функцией системы. Она вычисляется следующим образом: H(s)=.

Отметим, что знаменатель H(s) это характеристический полином D(s), что корни характеристического уравнения D(s)=0 являются одновременно полюсами передаточной функции системы H(s).

Дата добавления: 2014-10-31