Предельные значения параметров коммерческих контрактов

Классический подход или задача Клаузберга

Сравнение коммерческих контрактов

В коммерческой практике часто сталкиваются с ситуациями, когда один и тот же товар можно купить у разных поставщиков. Условия кредита обязательно должны приниматься во внимание при выборе контракта, т. к. преимущество варианта с низкой ценой может быть «перекрыто» невыгодными для покупателя условиями кредитования. Существует два способа сравнения коммерческих контрактов: классический подход (задача Клаузберга) и метод расчёта предельных значений параметров соглашений.

«Классический» подход, предложенный еще в прошлом веке и широко применяемый в настоящее время, заключается в сравнении величин всех платежей, предусматриваемых контрактами. Вариант с наименьшей современной величиной считается предпочтительным для должника.

При расчёте современных величин для сравнения контрактов центральным моментом является выбор уровня ставки процентов, по которой производится дисконтирование, — ставки сравнения. При этом необходимо учитывать, что чем выше ставка, тем в большей мере учитывается такой фактор, как время: более отдаленные платежи оказывают все меньшее влияние на современную величину затрат.

При выборе ставки сравнения ориентируются на существующий уровень ссудного процента.

Можно показать, что если современная величина платежей по одному из сравниваемых контрактов больше, чем по другому, то такое соотношение сохраняется и для других уровней ставки сравнения, если они превышают наибольшую из ставок в сравниваемых контрактах, или если ставки сравнения меньше наименьшей из этих ставок.

Рассмотрим первый способ сравнения коммерческих контрактов.

Продавец предлагает несколько вариантов уплаты за один и тот же товар. Мы должны выбрать наилучший вариант для себя. Каждый из вариантов предусматривает следующие условия:

1) авансовые платежи (задаются суммы и сроки выплат);

2) льготный период, в котором выплачиваются только проценты за кредит, а кредит не выплачивается, здесь оговариваются сроки и методы выплаты процентов. Проценты могут выплачиваться один раз в конце льготного периода, могут выплачиваться ежегодно, образуя аннуитет;

3) сроки и методы погашения задолженности по кредиту. Будем рассматривать случай, когда кредит погашается равными ежегодными выплатами.

Пусть Q ₁ — первый авансовый платёж, который вносится при заключении контракта; Q ₂ — второй авансовый платёж, он вносится через t лет после заключения контракта; i — процент за кредит; L — срок льготного периода; D — остаток задолженности после выплаты авансовых платежей; R — величина ежегодных срочных уплат; n — срок погашения остатка задолженности D; q — ставка сравнения.

Тогда современная величина всех платежей

A=Q ₁ +Q ₂ × n^t+D ((1 +i) ^L– 1) × n^t+L+R × PVIFA_q;n × n^t+L, (6.1)

здесь , .

Если же в льготном периоде проценты выплачиваются периодически и льготный период состоит из целого числа лет, то формула примет вид

А=Q ₁ +Q ₂ × n^t+D × i × PVIFA_q;L × n^t+R×PVIFA_q;n × n^t+L. (6.2)

□ Пример 6.1. Предлагается один и тот же товар по цене 80 тыс. ден. ед., но с различными вариантами погашения кредита.

	I вариант	II вариант
Цена P, тыс. ден. ед.
I аванс при заключении контракта Q 1, тыс. ден. ед.
II аванс через 6 месяцев Q 2, тыс. ден. ед.
Льготный период L, месяцев	нет
Ставка за кредит i, %
Срок аннуитета n, лет
Ставка сравнения q, %

Во втором варианте выплаты процентов в конце льготного периода.

Решение. Находим современную стоимость всех платежей по I варианту

=4+3,73002+59,37154=67,10156 тыс. ден. ед.

Находим современную стоимость всех платежей по II варианту

=4+7,46004+2,88609+49,73588=64,08201 тыс. ден. ед

Второй вариант уплаты предпочтительнее. ■

Смысл суммы A в том, что, будучи, эта сумма инвестирована под ставку q, она обеспечит выплату всех платежей, предусмотренных контрактом.

□ Пример 6.2. Предлагается один и тот же товар с двумя вариантами уплаты

	I вариант	II вариант
Цена P, тыс. ден. ед.	10,5
Аванс Q, тыс. ден. ед.
Срок поставки t, лет
Срок кредита n, лет
Льготный период L, лет
Ставка за кредит i, %	10,5
Ставка сравнения q, %

Проценты за кредит выплачиваются в конце каждого года.

Решение. Найдём современную величину всех платежей при I варианте. Рентные платежи выплачиваются в течение 6 лет. Тогда

=2+1,2617+4,9278=8,1895 тыс. ден. ед.

Найдём современную величину всех платежей при II варианте. Срок аннуитета n =7 лет. Тогда

=1+1,9854+4,8860=7,8714 тыс. ден. ед.

Преимущество II варианта при принятой для сравнения процентной ставке 15% очевидно. ■

Суть метода расчёта предельных значений параметров соглашений состоит в следующем. Допустим, что существует два варианта покупки товара в кредит. Первый поставщик продает по цене P ₁, ставка за кредит i ₁. У второго поставщика цена товара P ₂, а ставка i ₂ не объявлена. Возникает возможность определить максимально допустимое значение i ₂.

Пусть имеется два контракта на приобретение одного и того же товара. Если один из поставщиков предлагает цену, которая меньше, чем у другого (P ₁< P ₂), и процентная ставка i ₁< i ₂, то выбор очевиден.

Рассмотрим другой случай. Первый контракт — базовый — имеет стоимость товара Р ₁, ставка за кредит i ₁, срок кредита n ₁. Второй контракт — цена товара Р ₂, срок кредита n ₂, ставка i ₂ за кредит не объявлена.

Обозначим буквой q ставку сравнения контрактов. Наша задача найти предельное значение ставки i ₂ такое, чтобы при любом значении ставки , второй контракт был бы предпочтительным.

Составим уравнение эквивалентности. Для этого сначала найдем будущую стоимость обоих контрактов, а потом продисконтируем эти величины на момент заключения сделки:

,

отсюда получаем

,

. (6.3)

При условия второго варианта хуже для покупателя, чем условия первого варианта. Если , то варианты равноценны. При условия второго варианта лучше условий первого.

Совершенно аналогично мы найдём предельное значение цены , если оговорена ставка i ₂ и срок кредита n ₂.

. (6.4)

□ Пример 6.3. Условия двух контрактов следующие:

Р ₁=10000 ден. ед.; i ₁=8%; n ₁=5 лет.

Р ₂=12000 ден. ед.; i ₂=7%; n ₂=4 года.

Определить предельные параметры второго контракта, приняв ставку сравнения q =10%.

Решение. Найдём сначала предельное значение цены

ден. ед.

Так как , то второй контракт хуже.

Найдём теперь предельное значение ставки :

Так как , то второй контракт хуже. ■

В случае если n ₁= n ₂= n, то для расчётов предельных значений параметров сделки можно обойтись без ставки сравнения. Из уравнения

находим предельное значение ставки

, (6.5)

а из уравнения

находим предельное значение цены

. (6.6)

□ Пример 6.4. Условия двух контрактов следующие:

Р ₁=5000 ден. ед.; i ₁=9%; n ₁=5 лет.

Р ₂=5500 ден. ед.; n ₂=5 лет.

Определить предельное значение ставки :

Решение. Предельное значение ставки второго контракта равно

.

Так как , то второй контракт предпочтительнее. ■

Рассмотрим случай, когда кредит погашается равными срочными уплатами в конце года. Предельные процентные ставки по кредиту находятся в два этапа. На первом этапе оцениваются коэффициенты привидения рент PVIFA_i;n, эквивалентные условиям базового контракта, на втором этапе на основе полученных коэффициентов привидения рассчитывают искомые предельные проценты ставки.

Имеется 2 контракта с параметрами P ₁, i ₁, n ₁ и P ₂, i ₂, n ₂. q — ставка сравнения. Исходное равенство современных величин платежей имеет вид

.

Отсюда следует

. (6.7)

Значение коэффициента привидения находится по формуле

. (6.8)

Из формул (6.7) и (6.8) найдём предельное значение ставки .

Величина определяется проще

. (6.9)

□ Пример 6.5. Условие базового варианта контракта P ₁=15000 ден. ед.; i ₁=10%; n ₁=8 лет, погашение задолженности равными платежами в конце года. Второй контракт P ₂=16000 ден. ед., n ₂= 10 лет. При какой минимальной ставке этот вариант будет конкурентоспособен?

Решение. Зададим ставку сравнения 15%. Тогда

.

Итак, имеем . По таблицам коэффициентов привидения годовой ренты находим, что . Применим формулу линейной интерполяции. По тем же таблицам находим

y (9,50)=6,2787980, y (9,00)=6,4176577.

Уравнение прямой

.

Значение предельной ставки составит (y= 6,364541543)

. ■

□ Пример 6.6. Несколько изменим условие примера 6.5.

P ₁=15 тыс. ден. ед.; i ₁=10%; n ₁= 8 лет;

i ₂=9%; n ₂=10 лет.

Необходимо оценить предельное значение цены, т. е. найти .

Решение.

тыс. ден. ед. ■

Дата добавления: 2014-11-25