Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Пример графического решения 1 страница




Х1 0 Х1

ОДР Z А В

Z

В

ОДР А

Х1 0 Х1

Z С Z В

А ОДР ОДР А

Min – нет Max – нет

A – max Min – нет

A – min Max – нет

В – max В

A – min


 


 


 


 


 

 


 

 

 

 


 

 

 


 

Рисунок 1.1 Особенности графического решения

 

 

Существуют следующие особенности ОДР:

1. Если одно из ограничений в системе является уравнением, то ОДР вырождается в отре-зок прямой линии;

2. Совокупность неравенств, входящих в состав системы ограничений, может образовы-вать как замкнутую, так и незамкнутую ОДР.

 
Дана следующая математическая модель задачи линейного программирования. Z = x − 2× x 2

 

ì
 
ï
10 x + 7 x 2£ 35

 

 
í
ï x + x 2³1. (1.1)

 

 
ï
 
ï− x + x 2£2î x ³0 x 2 ³0

Необходимо найти минимум и максимум целевой функции Z.

 

 

Решение.

 
Строим ОДР. Граничные прямые проходят по точкам: 1-ая прямая – (3,5; 0) и (0; 5); 2-ая прямая – (1; 0) и (0; 1); 3-я прямая – (–2; 0) и (0; 2). Стрелками показываем полуплос-кости, которые удовлетворяют неравенствам. Также учитываем полуплоскости, отвечаю-щие требованию неотрицательности переменных (x ³ 0 x 2³ 0), т.е. ОДР ограничена пер-вым квадрантом. По совокупности полуплоскостей в первом квадранте получаем много-угольник ABCDE, который является областью допустимых решений (рис.1.2).

 

 

 
 

ì
x
.
í
 
Строим вектор градиента целевой функции из начала координат в точку, соответст-вующую коэффициентам целевой функции (1; –2)

 

 

1 Х2

 

 

3 5

 

 

 

2 3 А

 

 

2 E

1 DОДР

 

С B

 

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 Х1 -1 Z

 

-2

 

Рисунок 1.2 Графическое решение задачи

 

 

Перпендикулярно вектору градиента проводим нормаль и определяем:

− при перемещении нормали по направлению градиента последней встретилась т.В. Следовательно, в точке В целевая функция достигает максимума;

− при перемещении нормали против направления градиента последней встретилась точка А. Следовательно, в точке А целевая функция достигает минимума.

Искомые точки В и А лежат на пересечении граничных прямых. Поэтому для опре-деления их координат следует решить систему линейных алгебраических уравнений, кото-рые соответствуют этим прямым. Для решения систем уравнений используем электрон-ные таблицы Excel и формулу массива.

Точка В лежит на оси 0 Х 1 с известными координатами: т. В (3,5; 0). Подсчитываем максимальное значение для функции цели

 
Z max = xx 2 3,5− 2×0 3,5

Точка А лежит на пересечении прямых № 1 и 3. Следовательно, нужно решить сле-дующую систему уравнений (1.2):


10 1+ 7 x 2= 35 î− x + x 2= 2


 

(1.2)


 

r
Для этого записываем в ячейках электронных таблиц исходные данные (рис.1.3). За-тем решаем систему методом обратной матрицы. Согласно данному методу система ли-нейных алгебраических уравнений записывается в следующей форме

r
A × x = B. (1.3) Решение системы определяется так

x = A −1× B. (1.4)

 

 

Сначала с помощью функции МОБР из категории Математические в ячейках В6:С7 (рис.1.3) находим обратную матрицу А –1 коэффициентов левой части системы (1.2). Затем в ячейках Е6:Е7 находим векторно-матричное произведение обратной матрицы А –1 на зна-

 

чения правой части системы A −1 × с помощью функции МУМНОЖ, где первым массивом


ì
 
ï
 
í
ì
 
ï
 
í
x
ï
 
í
x
ï
 
í
x
ï
x
í
x
ï
 
í
 
ï
ï
 
í
x
ï
 
í
x
ï
x
í
ï
ï
 
í
ì
 
ï
 
í
 
ï
x
í
x
ï
x
í
 
ï
 
í
 
ï
 
í
 
ï
 
í
является обратная матрица, а вторым – вектор правой части системы линейных алгебраи-ческих уравнений.

 

 
 

 

 


Рисунок 1.3 Решение системы уравнений

 

 

 
Точка А имеет координаты (1,2353; 3,2353). Значение функции цели составляет Z min = x − 2 x 2 =1,2353 2×3.2353 = −5,2353

 

 

Вариантызаданий

  № вар.     Задачи  
      7 15 29 34  
      3 13 22 39  
      10 11 26 33  
      6 20 21 39  
      9 15 24 32  
      7 17 21 33  
      5 16 29 34  
      9 14 30 40  

 

Задачи 1–40

1 1 1 1
Решить математическую модель графически на максимум и минимум функции цели. Z =12 x − 2 x 2 Z = 9 x −7 x 2 Z 4 x − 2 x 2 Z = 5 xx 2

 


11 x −17 x 2 £ 66 1) ï− x +11 x 2 £14

x
ï
 
ï5 1 −3 x 2 ³ 2 î x ³ 0, x 2 ³ 0


11 x +8 x 2 £ 72 2) ï− x +11 x 2 ³ 20

x
ï
 
ï5 1 −3 x 2 ³ 6 î x ³ 0, x 2 ³ 0


ì1 +3 x 2 £10 3) ï4 x + 2 x 2 ³ 4

x
ï
 
ï5 1 −13 x 2 £17 î x ³ 0, x 2 ³ 0


ì9 1 +11 x 2 £ 46 4) ï5 x + 4 x 2 ³ 20

 
ï
 
ï− x +13 x 2 ³ 4 î x ³ 0, x 2 ³ 0


 

 
 
 
 
Z = x + 4 x 2 Z =11 x + 7 x 2 Z = 7 xx 2 Z = 8 x 2 x 2

 


ì−8 1 +5 x 2 £18 5) ï2 1 + 4 x 2 ³1

x
ï
 
ï7 1 +3 x 2 £ 27 î x ³ 0, x 2 ³ 0


ì5 1 −5 x 2 ³10 6) ï x − 2 x 2 £ 4

x
ï
 
ï3 1 + 4 x 2 £ 20 î x ³ 0, x 2 ³ 0


ì x + 2 x 2 ³ 5 7) 8 x + 4 x 2 £ 29

x
ï
ï
 
8 1 −6 x 2 ³ 9 î x ³ 0, x 2 ³ 0


ì2 1 +11 x 2 ³ 7 8) ï2 x −3 x 2 £ 6

x
ï
 
ï6 1 −13 x 2 ³ 4 î x ³ 0, x 2 ³ 0


 

 
 
 
 
Z = 6 x + 4 x 2 Z = 7 x x 2 Z = 6 x 4 x 2 Z = 7 x + x 2

 


ì9 1+11 x 2£ 48 9) ï7 1−5 x 2³10

 
ï
x
ï−3 x +13 x 2³ 6 î1³ 0, x 2³ 0


ì 2 x 2£10 10) 8 x + 2 x 2³16

ï
 
x
8 x −6 x 2£12 ï1³ 0, x 2³ 0


12 x +8 x 2³ 48 11) ï−11 x + 6 x 2£ 44

 
ï
 
ï−3 x + 6 x 2³ 6 î x ³ 0, x 2³ 0


ì x +3 x 2³ 2 12) ï4 1− 2 x 2³ 4

 
ï
x
ï5 x −13 x 2£18 î1³ 0, x 2³ 0


 

î
 
 
 
 
Z = 3 x + 2 x 2 Z = 7 x 2 x 2 Z = −6 x − 4 x 2 Z = 7 x + x 2

 


ì−31+2 x 2£613) ï5 1+ 4 x 2³ 20

x
ï
x
ï21−4 x 2£4î 1 ³0, x 2 ³0


ì− 4 x + x 2£ 4 14) ï6 x +3 x 2³18

x
ï
x
ï3 1−5 x 2£ 5 î1³ 0, x 2³ 0


ì− 2 x +3 x 2£ 8 15) ï7 x +3 x 2³15

 
ï
 
ï3 x −5 x 2£ 3 î x ³ 0, x 2³ 0


ì−5 x +3 x 2£ 5 16) ï2 x + x 2³ 2

x
ï
 
ï1−3 x 2£ 3 î x ³ 0, x 2³ 0


 

 


x
ï
x
í
 
ï
x
í
 
ï
 
í
x
ï
x
í
x
ï
x
í
ì
 
ï
x
í
ì
 
ï
 
í
x
ï
 
í
x
ï
x
í
 
ï
x
í
 
ï
 
í
x
ï
ï
 
í
ì
x
ï
 
í
x
ï
x
í
 
ï
 
í
x
ï
 
í
x
ï
x
í
í
í
x
ï
x
í
ï
í
 
ï
ï
 
í
x
ï
x
í
ï
í
ï
 
 
 
 
Z = 6 x − 4 x 2 Z = 5 x 2 x 2 Z = 6 x 4 x 2 Z = 7 x −3 x 2




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-25; Просмотров: 408; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.008 сек.