Основные понятия, соотношения, законы 2 страница

тело будет находиться в состоянии покоя или двигаться равномерно вниз по наклонной плоскости.

Выберем систему координат, связанную с Землей, координатные оси которой направлены вдоль плоскости и перпендикулярны ей.

Так как F_тр = mN, сила реакции N = mgcosa и если mgsina > mmgcosa, то тело может двигаться вдоль наклонной плоскости с ускорением.

Таким образом, чтобы тело двигалось с ускорением, должно выполняться условие tga > m. Найдем ускорение тела а_х. Воспользуемся основным уравнением динамики (второй закон Ньютона):

.

Время спуска определяется длиной плоскости

и ускорением а_x:

.

Оно не зависит от массы тела и увеличивается при увеличении коэффициента трения.

Скорость тела в конце спуска равна

.

Она не зависит от массы тела и уменьшается при увеличении коэффициента трения.

Задача 16. Стеклянный шарик радиусом R = 0, 51см падает с высоты h = 11см на поверхность глицерина. Определите установившуюся скорость падения шарика и оцените длину участка стабилизации. Плотность стекла r₁ = 2, 5г/см³, плотность глицерина r₂ = 1, 2г/см³, вязкость глицерина h = 0, 50Па с.

Решение. При движении в глицерине на шарик действуют: сила тяжести , выталкивающая сила Архимеда , сила вязкого трения и сила сопротивления .

Архимедова сила сравнима с силой тяжести, так как плотности стекла и глицерина сравнимы. При небольших скоростях движения силой сопротивления можно пренебречь в сравнении с силой вязкого трения, так как ~ , ~ .

В таком приближении движение шарика в глицерине описывается дифференциальным уравнением

где , , ( закон Стокса ).

Скорость шарика у поверхности глицерина оценим, считая падение шарика в воздухе свободным с высоты h без начальной скорости, по формуле

В установившемся режиме падения шарика в глицерине сила вязкого трения уравновешена разностью силы тяжести и силы Архимеда:

Откуда находим скорость установившегося падения:

Отметим, что величина установившейся скорости падения шарика не зависит от высоты h, с которой падает шарик на поверхность глицерина.

Рассмотрим оправдано ли было пренебрежение силой сопротивления. Оценим эту силу:

F_c = au² ~ pR²r₂u_n² ~ 10 ^{- 4} H.

Сила вязкого трения при этом равна

Рассмотренная задача имеет практическое приложение. Измерив скорость падения шарика u_n, можно оценить вязкость жидкости по формуле

При конструировании экспериментальной установки и проведении эксперимента важно знать длину участка стабилизации движения шарика.

Чтобы оценить длину участка стабилизации, нужно определить зависимость скорости шарика от времени u (t). Для этого необходимо решить дифференциальное уравнение

при начальном условии u (0)= u₀.

Представим уравнение в обобщенной форме. Измерим скорость в долях u_n, а время в долях

При этом обобщенное уравнение принимает вид

а начальная скорость равна

Для скорости шарика получаем

Из решения видно, что при , т.е. . Если , т.е. , то U=1 (шарик движется с установившейся скоростью от начала своего движения в жидкости). Если , скорость шарика уменьшается с течением времени, асимптотически приближаясь к . При , скорость шарика растет асимптотически до . Таким образом, если длина участка стабилизации отлична от нуля:

,

где – время стабилизации движения.

Для оценки воспользуемся условием

Откуда

,

.

Длина участка стабилизации равна

см.

Задача 17. На тело массой m=2кг, движущееся по горизонталь­ной поверхности со скоростью u₀ = 3, 4м/с, бьет горизонтальная струя воды, скорость которой равна u_с = 12м/с и направлена против движе­ния тела. Площадь сечения струи S = 5, 1см² . Вода после удара о вер­тикальный торец тела стекает с него вниз. Определите установив­шуюся скорость движения тела, если коэффициент трения тела между телом и поверхностью равен m = 0, 21. Сопротивлением воздуха пренеб­речь.

Решение. На тело действует сила реакции струи , сила трения скольжения , сила тяжести и сила реакции горизонтальной поверхности .

Проанализируем движение тела на качественном уровне. Вначале, до некоторого момента времени, тело будет тормозиться под действием силы реакции струи и силы трения, направленных в одну сторону, а затем, после остановки, начнется спутное движение, если сила реакции струи будет больше максимальной силы трения покоя. В спутном движении сила реакции струи и сила трения направлены в противоположные стороны. По мере роста скорости тела сила реакции струи будет уменьшаться, и, когда она сравняется с силой трения, наступит режим равномерного движения.

Сила реакции струи равна

где r – плотность воды (1,0 г/см³).

Когда тело остановится (u = 0), сила реакции струи будет равна . Спутное движение возникнет, если сила реакции струи больше силы трения:

> .

В нашем случае это условие выполняется. Скорость тела в установившемся режиме найдем из равенства сил реакции струи и трения:

.

Для установившейся скорости тела находим

м/с.

Интерес представляет вопрос о длине участка торможения. Рассмотрим решение для режима торможения.

Запишем основное уравнение динамики в проекциях на координатные оси:

, ,

где , .

Проблема сводится к решению дифференциального уравнения

с начальным условием < 0.

Представим уравнение движения и начальное условие в обобщенной форме в безразмерных величинах:

, ,

, ,

где - безразмерная скорость в долях скорости струи, t – безразмерное время в долях , R – безразмерный критерий, характеризующий влияние силы трения относительно максимальной силы реакции струи, - безразмерная начальная скорость тела.

В обобщенной форме получаем

,

<0.

Скорость тела изменяется с течением времени согласно соотношению

.

Время торможения найдем, положив = 0:

,

c.

Для смещения на участке торможения получаем

м.

Задача 18. Оцените минимальное время разгона автомобиля из состояния покоя, если коэффициент трения покоя между шинами автомобиля и дорогой равен m=0, 2. Все колеса автомобиля являются ведущими. Чему равна установившаяся скорость автомобиля? Какую полезную мощность развивает при этом двигатель автомобиля? Коэффициент сопротивления воздуха для автомобиля принять равным b = 3, 8 кг/м, масса автомобиля m = 1, 5 т. Трением качения пренебречь.

Решение. Автомобиль является объектом самодвижущимся. Во всех подобных задачах роль движущей силы выполняет сила трения покоя, максимальное значение которой равно . Чтобы разогнать автомобиль за кратчайшее время, движущая сила должна быть максимальной.

Проблема сводится к решению основного уравнения динамики

при начальной скорости u(0)=0.

Скорость автомобиля изменяется с течением времени согласно соотношению

,

где – предельная скорость автомобиля, с – время разгона автомобиля.

Полезная мощность двигателя автомобиля равна

кВт (114л.с.).

Задачи для самостоятельного решения
(Поступательное движение твердого тела)

1. Под действием некоторой силы скорость тела изменяется согласно соотношению , где a > 0, m – масса тела. Под действием какой силы находится тело? ().

2. Два шарика падают с одной высоты. Сравните время падения шариков с учётом сопротивления воздуха, если m₁=m₂, R₁>R₂ (t₁>t₂).

3. Оцените максимальную скорость, которую может развить велосипедист на горизонтальном участке дороги, если коэффициент трения между колёсами и полотном дороги μ=0,4 (~ 20м/с).

4. С какой скоростью можно ехать на водных лыжах? ( ~ 3м /с ).

5. Tело падает с высоты 40м без начальной скорости. Определите, с какой скоростью тело упадёт на Землю, если его масса 4, 0кг, а коэффициент сопротивления воздуха равен 0, 01кг/м (~24м/с).

6. Свинцовый и стеклянный шарики с радиусами R₁ и R₂ соответственно начинают падать в воде. Определите отношение радиусов R₁/R₂, если установившиеся скорости падения шариков одинаковы. Плотности свинца, стекла и воды принять равными 11, 3г / см³, 2, 6г / см³, 1, 0г / см³ (2,5).

7. Оцените вязкость воздуха, если мелкие капли тумана, радиус которых 0, 1мм, падая с большой высоты, у поверхности Земли имеют скорость ~ 1, 0м /c (0,1мПа·с).

8. На тележку массой m_с=5, 6кг, движущуюся по рельсам со скоростью м/с, падают капли дождя под углом a = 45⁰ к направлению рельсов со скоростью u_d = 22м/с. За одну секунду на тележку падает m = 47г воды. Определите установившуюся скорость тележки, если эквивалентный коэффициент трения качения равен m=0, 011. Пояснение. Формально закон трения качения можно представить в виде F_k=mN, где называется эквивалентным коэффициентом трения качения (2,2 м/c).

9. Оцените минимальное время разгона автомобиля до скорости 72км/ч и состояния покоя, если коэффициент трения между шинами и дорогой равен 0, 5. Ведущими являются задние колёса автомобиля. Центр тяжести автомобиля находится на равном расстоянии от осей колёс. Трением качения и сопротивлением воздуха пренебречь (8,0с).

10. Электровоз массой 100т на прямолинейном участке без уклона длиной 500м увеличивает скорость от 10 до 15м/с. При этом он испытывает постоянное сопротивление равное 2, 5кН. Оцените значение коэффициента трения между колёсами электровоза и рельсами, считая оси колеса электровоза ведущими ( не менее 0, 015).

11. Автомобиль массой 1200кг способен двигаться по дороге с уклоном к горизонту 11⁰ со скоростью 36км/ч. При движении по ровной дороге с таким же покрытием и на той же скорости мощность двигателя равна 25кВт. Определите максимальную мощность двигателя. Все колёса автомобиля являются ведущими. Трением качения пренебречь (68кВт).

12. Бруску сообщили некоторую скорость вверх вдоль наклонной плоскости, образующей угол a = 35⁰ с горизонтом. Время подъема бруска до высшей точки оказалось в 2 раза меньше, чем время спуска до начального положения. Определите коэффициент трения между бруском и наклонной плоскостью (0, 42).

13. Небольшое тело скользит с вершины наклонной плоскости с основанием d=5, 0м, без начальной скорости. При какой высоте h время соскальзывания тела будет наименьшим, если коэффициент трения тела между телом и плоскостью равен m=0, 2? (6,1м).

14. Канат перекинут через блок, причём часть каната лежит на столе, а часть – на полу. После того как канат отпустили, он начал двигаться. Определите скорость установившегося равномерного движения каната. Высота стола равна 1, 6м. Трением по блоку и сопротивлением воздуха пренебречь (4, 0м/с).

15. Метеорологическая ракета стартует на полюсе вертикально вверх с начальной скоростью u=1, 2км/с. На какую максимальную высоту поднимется ракета, если коэффициент сопротивления воздуха для ракеты равен m=0, 1кг/м (7, 9км).

16. По плоскости, наклоненной к горизонту под углом a=45⁰, соскальзывает шайба и в конце спуска ударяется о стенку, перпендикулярную к наклонной плоскости. Определите, на какую высоту снова поднимется шайба по плоскости, если первоначально она находилась на высоте h=1, 5м. Коэффициент трения между шайбой и плоскостью равен m=0, 5. Удар считать абсолютно упругим (0, 5м).

17. Оцените установившуюся скорость падения парашютиста.

18. Оцените силу натяжения ремня безопасности, если автомобиль в результате аварии получил вмятину глубиной ~ 20см. Скорость автомобиля во время аварии была равна ~ 100 км/ч.

19. К телу приложена сила F=0,2mg под углом a= 45⁰ к горизонту. При этом тело движется равномерно. Как будет двигаться тело, если эта же сила будет действовать вдоль горизонта? (0, 37м/с²).

20. С каким максимальным ускорением может двигаться вверх по наклонной дороге автомобиль, если угол наклона дороги к горизонту равен a = 30⁰, а коэффициент трения между колесами автомобиля и дорогой равен m=1, 0? Сопротивлением воздуха и трением качения можно пренебречь. Все колёса автомобиля являются ведущими (3, 7м/с²).

21. Чему должен быть равен минимальный коэффициент трения между шинами и поверхностью наклонной дороги с уклоном a= 10⁰, чтобы автомобиль мог двигаться по ней вверх с ускорением 2, 0м/с. Центр тяжести автомобиля находится посередине расстояния между осями колёс на высоте 0, 5см. Расстояние между осями равно 4, 0м. Задние колёса являются ведущими. Сопротивлением воздуха и трением качения можно пренебречь (0, 7).

22. Определите минимальное время разгона автомобиля до скорости 92км/ч из состояния покоя, если коэффициент трения между шинами автомобиля и полотном дороги равен 0, 8. Трением качения и сопротивлением воздуха можно пренебречь. Все колёса автомобиля являются ведущими (3, 2с).

23. Сила вязкого трения, действующая на падающие в воздухе капли тумана, пропорциональна их радиусу и скорости падения. Капли радиусом 0, 1мм у поверхности Земли имеют скорость 1, 2м/с. Какую скорость будут иметь капли, радиус которых в 2 раза меньше (0, 3м/с).

Дата добавления: 2014-11-25