Примеры решения задач 2 страница

tgβ=0, β=0.

В случае m₁=m₂ (центральное столкновение бильярдных шаров):

U=u₀,u=0.

2. m₁>>m₂, U=0:

,

tgβ=ctgα-2μ.

Для гладкого клина (μ=0):

U=0, u=u₀,

tgβ=ctgα, β=90–α.

Задача 29. Тело массой m=2, 2кг с импульсом р=5, 1кгм/с распадается на две одинаковые части. Определите минимальный угол разлёта частей тела φ _min (град), если при распаде выделяется энергия ΔЕ=2, 5Дж.

Решение. В подобных задачах, когда неизвестен закон взаимодействия между частями тела, позитивный результат можно получить в рамках наиболее общих законов природы. К ним, в частности, относятся законы сохранения, связанные с фундаментальными свойствами пространства и времени.

Если действием силовых полей других частиц и тел на данную можно пренебречь, то для анализа процесса распада тела можно применить законы сохранения энергии и импульса в следующем виде:

,

,

где m₁=m₂= .

Возведем в квадрат векторное равенство

,

где – угол между разлетающимися частями тела.

Преобразуем систему уравнений относительно неизвестных р₁ и р₂ к виду, удобному для анализа:

,

.

Откуда можно сделать вывод, что угол разлёта принимает минимальное значение φ _min при равенстве модулей импульса разлетающихся частей тела р₁₌р₂, так как обе формулы симметричны относительно перестановки р₁ и р₂.

Импульсы частей тела при этом равны

,

а угол разлёта частей тела равен

=66⁰.

Рассмотрите предельные случаи и убедитесь в достоверности полученного решения.

Рассмотрим другое решение. В системе отсчета, связанной с центром инерции,

.

При т₁ = т₂=

, ,

,

.

В лабораторной системе отсчета

, .

=2,3м/с.

=1,5м/с.

– угол разлета тел в лабораторной системе отсчета. Минимальный угол φ_min соответствует симметричному распаду:

,

,

.

Задача 30. На неподвижный невозбужденный атом водорода налетает невозбужденный атом гелия. Какова должна быть минимальная кинетическая энергия налетающего атома гелия К_min (эВ), чтобы в результате столкновения мог получиться фотон с энергией ε_ф=10, 2эВ.

Решение. Законы сохранения энергии и импульса фактически являются единственным средством теоретического изучения процессов столкновения и распада тел (частиц), когда характер действующих сил неизвестен.

В рассматриваемой задаче законы столкновения для центрального столкновения следует записать в следующем виде:

,

,

где р₁ и – импульсы атома гелия до и после столкновения; – импульс возбужденного атома водорода после столкновения; ΔЕ – энергия возбуждения атома водорода, равная энергии излучаемого фотона ε_ф; – кинетическая энергия атома гелия до столкновения; – кинетическая энергия атома гелия после столкновения; – кинетическая энергия атома водорода после столкновения (m₁ и m₂ – массы атомов гелия и водорода соответственно).

Внутреннее состояние атома гелия можно считать не изменяющимся, так как для его возбуждения требуется энергия больше, чем для возбуждения атома водорода.

Из законов сохранения выразим связь между кинетической энергией гелия К₁ и кинетической энергией атома водорода :

.

Очевидно, что К₁ принимает минимальное значение, когда кинетическая энергия атома водорода минимальна.

Из условия экстремума

находим

,

.

С учетом того, что

,

окончательное решение принимает вид

51эВ.

Задача 31. Ракета стартует на полюсе с поверхности Земли вертикально вверх с начальной скоростью u₀=6, 0км/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, оцените максимальную высоту подъёма ракеты. Принять ускорение свободного падения у поверхности Земли g=10м/с², радиус Земли R=6400км.

Решение. Эта идеализированная задача поучительна тем, что поле тяжести Земли нельзя считать однородным, так как ракета поднимается на высоту, сравнимую с радиусом Земли, и поэтому изменением силы тяжести с высотой пренебречь нельзя.

Свяжем систему координат с Землёй, считая её неподвижной и однородным шаром. Начало координат совместим с центром Земли.

В таком приближении движение ракеты описывается уравнением

,

где m – масса ракеты, М – масса Земли, r=R+h, R – радиус Земли, h – высота над поверхностью Земли.

Выразим правую часть уравнения, используя выражение для ускорения свободного падения у поверхности Земли и радиус Земли:

,

.

Умножим левую и правую часть уравнения на элементарное смещение dr. Учитывая, что

,

получаем

.

При движении в неоднородном поле тяжести Земли сохраняется механическая энергия ракеты

,

где – кинетическая энергия ракеты, – потенциальная энергия ракеты в неоднородном поле тяжести Земли.

Величина полной механической энергии ракеты определяется начальным условием u(R)=u₀:

.

Откуда находим зависимость скорости ракеты от высоты h:

.

Максимальной высоте подъёма соответствует u=0. Для h_max получаем

=2500км.

Рассмотрим предельные случаи.

Если (малые начальные скорости), получается формула расчета высоты подъёма в однородном поле тяжести Земли:

.

При h_max→ ∞, т.е. ракеты, преодолев земное притяжение, уходят в бесконечность. Скорость = 11км/с называется второй космической скоростью.

Задача 32. В результате трения в верхних слоях атмосферы механическая энергия спутника Земли за много витков уменьшилась на 1 %. Орбита спутника при этом осталась круговой. Как изменились параметры орбиты: радиус r, скорость спутника, период обращения Т?

Решение. В системе отсчета, связанной с Землёй, механическая энергия спутника равна сумме его кинетической энергии и потенциальной энергии взаимодействия с Землёй:

Е=К+П,

где , (m и u – масса и скорость спутника, r – радиус орбиты спутника, R – радиус Земли, g – ускорение свободного падения тел у поверхности Земли, М – масса Земли).

Так как спутник движется по круговой орбите, то величина его скорости связана с радиусом орбиты соотношением

.

Откуда следует, что

К=-П.

Таким образом, полная механическая энергия спутника, равная

,

является однозначной функцией радиуса орбиты.

Найдём связь между относительным изменением механической энергии и относительным изменением радиуса орбиты.

Продифференцируем функцию E(r):

.

Откуда находим

.

Если механическая энергия убывает (dE<0), то радиус орбиты уменьшается (dr<0). Для малых конечных изменений можно воспользоваться приближенным соотношением:

(1%).

Радиус орбиты уменьшается на 1 %.

Оценим относительное изменение скорости спутника. Скорость спутника является однозначной функцией радиуса:

.

Найдем производную от u по r:

.

Для малых конечных изменений можно записать

(0,5%).

Так как ΔE<0, E<0, то скорость спутника возрастает (Δu>0) при уменьшении радиуса орбиты.

Аналогичным образом найдем изменение периода обращения:

,

,

(1,5%).

Период обращения спутника при торможении в верхних слоях атмосферы уменьшается.

Задачи для самостоятельного решения
(Законы сохранения)

1. Небольшое тело массой m₁=10г налетает на неподвижный шар массой m₂=50г. Направление движения тела составляет угол α=45⁰ с нормалью к поверхности шара в точке столкновения. Считая столкновение абсолютно упругим, определите, под каким углом к этой нормали отскакивает тело после столкновения (β = 56⁰).

2. Шар, движущийся со скоростью u₀ = 10м/с, сталкивается с неподвижным шаром, радиус которого в k=R/r=2 раза больше радиуса налетающего шара. Найти скорости шаров после упругого столкновения, если прицельное расстояние равно p=0,4(R+r). Шары изготовлены из одного материала. Чему равен угол разлёта шаров? (2, 0м/с; 8, 2м/с; 77⁰).

3. Два тела массой m₁ = 1, 0кг и m₂ = 3, 0кг движутся навстречу друг другу во взаимно перпендикулярных направлениях со скоростями u₁ = 3, 0м/с и u₂ = 1, 0м/с. В результате столкновения тела слипаются. Определите количество теплоты, которое выделяется в результате столкновения (3, 8Дж).

4. Пуля массой m=9,0г, летящая со скоростью u₀=500м/с, пробивает брусок массой М=1,8кг, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, и вылетает со скоростью u=50м/с. Определите скорость бруска и теплоту, которая выделяется при этом столкновении (2, 3м/с; 1, 1кДж).

5. Шайба ударяется о горизонтальную поверхность льда под углом α=30⁰. Коэффициент трения скольжения шайбы о лёд μ=0,17. Определите относительную долю кинетической энергии шайбы, которая при ударе превращается в теплоту. Под каким углом b (град) к горизонту отскакивает шайба? Действием силы тяжести в процессе столкновения пренебречь, движение шайбы считать поступательным (0, 27; 36⁰).

6. Хоккейная шайба налетает на борт под углом α=31⁰ к нормали. Коэффициент трения между шайбой и бортом μ=0,21. Определите, под каким углом к нормали отражается шайба от борта (10⁰).

7. Небольшое тело массой m=54г, движущееся горизон­тально со скоростью u₀=25м/с, сталкивается с неподвижным гладким клином массой м=140г. Угол наклона клина к горизонту равен α=30⁰. Клин может без трения скользить по горизонтальной поверхности. Определите скорость движения клина после столкновения (4, 4м/с).

8. По гладкой горизонтальной поверхности движется тело массой m=2,1кг со скоростью u₀=5,3м/с и упруго сталкивается с неподвижным телом массой м=6,8кг. Определите скорости тел после столкновения ( - 2, 8м/с; 2, 5м/с).

9. Гимнаст падает с высоты h=4,2м на упругую сетку (батут). Во сколько раз максимальная сила упругости сетки больше силы тяжести гимнаста, если под действием силы тяжести гимнаста сетка прогибается на величину S=21см (7, 4).

10. На пружину длиной l=5,3см, закрепленную на горизонтальной поверхности, падает тело с некоторой высоты массой m=1,7кг. На каком расстоянии от поверхности скорость тела будет максимальной, если жесткость пружины равна k=12Н/см (3, 9см).

11. По горизонтальной поверхности скользит без трения “горка” высотой h=1,2м и массой М=0,5кг. При какой наименьшей скорости “горки” небольшое тело массой m=0,1кг, неподвижно лежащее на её пути, перевалит через вершину (3, 8м/с).

12. Человек стоит на неподвижном плоту. Сделав 8 шагов вдоль плота, человек остановился. На сколько “шагов” при этом передвинется плот? Масса плота в три раза больше массы человека (2).

13. Альфа-частица с кинетической энергией К_α=4,0МэВ упруго рассеивается на покоящемся протоне. Определите кинетическую энергию частиц после рассеяния. Столкновение считать центральным ( , ).

14. На мишень из трития падают дейтоны с кинетической энергией 2,0МэВ. Детектор регистрирует нейтроны, вылетающие под углом 90⁰ к направлению пучка дейтонов. Определите кинетическую энергию нейтронов, если в реакции выделяется энергия 14МэВ (10,4МэВ).

15. В баллистический маятник массой М=2,1кг, подвешенный на растяжимых нитях длиной l=1,1м, попадает горизонтально летящая пуля массой m=9,0г. Определите начальную скорость пули, если маятник смещается от положения равновесия на расстояние S=23см (162м/с).

16. Две одинаковые лодки движутся параллельным курсом с одинаковыми скоростями. Как будут двигаться лодки после того, как обменяются равными грузами? Грузы перебрасываются одновременно и перпендикулярно направлению движения лодок с одинаковыми по величине скоростями.

17. Ствол пушки направлен под углом α=60⁰ к горизонту. Когда колеса пушки закреплены, скорость снаряда равна u=500м/с. Определите скорость отката пушки после выстрела, если её колеса освободить. Масса пушки в 50 раз больше массы снаряда ( - 5, 0м/с).

18. Баба копра массой m=600кг падает на сваю массой M=300кг с высоты h = 0,5м. При этом свая проникает в грунт на глубину d=0,1м. Определите силу сопротивления грунта, считая удар бабы копра о сваю абсолютно неупругим (200кН).

19. Между шариками массой m₁ = 50г и m₂ = 150г находится сжатая легкая пружина. Если первый шарик удерживать на месте, а второй освободить, то он отлетает со скоростью u = 2,4м/с. С какой скоростью будут двигаться шары, если оба шарика освободить одновременно? Начальные деформации пружины в обоих случаях одинаковы ( - 3, 6м/с; 1, 2м/с).

20. Нейтрон с кинетической энергией E_к=254кэВ налетает на неподвижное ядро . При этом образуется возбужденное ядро . Определите кинетическую энергию ядра (35кэВ).

21. Неподвижное тело в результате взрыва распадается на два осколка с массами m₁=0,6кг, m₂=2,4кг. Определите скорости осколков, если при взрыве выделяется энергия Е=120Дж (18м/с; 4, 5м/с).

22. На тело массой 0,5кг, подвешенное на нерастяжимой нити, падает горизонтально движущееся тело массой m = 100г и слипается с ним. При столкновении выделяется теплота Q=17Дж. На какую высоту поднимется система после столкновения? (57см).

23. При разрыве гранаты, летящей со скоростью u=10м/с, образовалось три равных осколка с массами по m=1кг. Общая кинетическая энергия всех осколков оказалась равной E_к = 475Дж. Первый осколок летит в направлении полета гранаты, а два других летят перпендикулярно полёту гранаты. Определите начальные скорости осколков после взрыва гранаты (30м/с; 5м/с; 5м/с).

24. Может ли произойти ионизация атома цезия– 133 ударом атома кислорода– 16 с кинетической энергией Е_к = 4,0эВ? Энергия ионизации цезия– 133 равна Е = 3,9эВ ( нет ).

25. Альфа-частица, летящая со скоростью u=1,0км/с, испытывает упругое столкновение с неподвижным ядром и летит под углом 90⁰ к первоначальному направлению движения. Масса ядра m_я=5m_α. Определите скорости u_α и u_я после столкновения (870м/с; 260м/с).

Примеры решения задач
(Движение по окружности)

Задача 33. Шарик массой m=27г, подвешенный на нерастяжимой нити, отклонили от положения равновесия в горизонтальное положение и отпустили. В каком положении нить оборвется, если прочность нити на разрыв равна F_пр=0,18Н. Сопротивлением воздуха пренебречь

Решение. Рассмотрим динамическое решение задачи. Шарик движется по окружности, радиус которой равен длине нити l, под действием силы тяжести и силы реакции нити .

Основной закон динамики

представим в проекциях на направление скорости в каждой точке окружности и направление вдоль нити:

, (1)

. (2)

Из уравнения (2) видно, что при падении шарика сила реакции нити возрастает, и нить может оборваться, когда реакция нити сравняется с прочностью нити (N=F_пр).

Точка отрыва характеризуется углом a_обр, который связан со скоростью шарика в точке обрыва соотношением

. (3)

Скорость шарика в момент обрыва можно найти, используя закон сохранения механической энергии (убедитесь в этом самостоятельно) или решая уравнение (1):

.

Чтобы проинтегрировать это уравнение, воспользуемся следующим преобразованием. Умножим левую и правую часть уравнения на элементарное смещение по дуге окружности dS, которое геометрически связано с угловым смещением da соотношением

dS=lda.

Учитывая, что , после интегрирования получим

Постоянная определяется начальным состоянием (a=90⁰,u=0).

Скорость шарика является однозначной функцией угла a:

. (4)

Окончательно, из соотношений (3) и (4), находим

Задача 34. Тело массой m=0,5кг, подвешенное на упругой нити жесткостью k=150Н/м, отвели от положения равновесия, не деформируя нити, на угол a=60⁰ и отпустили. Определите силу натяжения нити при прохождении телом положения равновесия, если длина недеформированной нити равна l₀ = 1,0 м.

Решение. Сила натяжения нити при прохождении положения равновесия равна

, (1)

где N=k(l-l₀)=kDl.

Скорость тела в положении равновесия найдем из закона сохранения механической энергии

, (2)

где h=l - l₀ cosa.

Из (1) и (2) получаем .

Натяжение нити при прохождении положения равновесия равно

Н.

В предельном случае нерастяжимой нити () и угле a=90⁰ получается известный результат (убедитесь в этом):

N=3mg.

Задача 35. По вогнутой сферической поверхности радиусом R скользит небольшое тело из положения с полярным углом без начальной скорости. Найдите зависимость скорости тела от полярного угла u(j), если коэффициент трения скольжения между телом и поверхностью равен m =1,0. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Проведем предварительный анализ. Под действием указанных на рисунке сил тело начнет двигаться к положению равновесия, если tgj>m, и остановится в положении, для которого будет выполнено условие tgj £ m.

Представим основное уравнение динамики в проекциях на направление скорости и радиальное направление:

, (1)

, (2)

где F_тр=mN.

После некоторых преобразований (проделайте их самостоятельно), учитывая, чтo dS=Rdj, получим уравнение для квадрата скорости тела в зависимости от его положения на сфере, определяемое полярным углом j.

. (3)

Решение этого дифференциального уравнения должно удовлетворять условию u²(j₀)=0.

Представим уравнение (3) в обобщенной форме в безразмерных переменных. Для этого скорость тела измерим в долях :

.

Решение обобщенного уравнения

при начальном условии u²(j₀)=0 имеет вид

Убедитесь в правильности решения и исследуйте его на предельные переходы (m=0, m<<1, j₀<<1).

Для численных данных в условии задачи

u²(j)=0,4[3sina - cosj - 3exp(2j - p)].

Убедитесь, что тело остановится, не доходя до положения равновесия, на угловом расстоянии 0,417 рад (23,9⁰), а максимальную скорость, равную 2,2м/с, тело будет иметь при полярном угле 1,087 (62,3 ).

Задача 36. На твердый стержень, расположенный под углом a=45⁰ к вертикали, насажена бусинка. Стержень вращается с угловой скоростью w=30 рад/с вокруг вертикальной оси. Коэффициент трения между стержнем и бусинкой равен m=0,8. Описать движение бусинки по стержню.

Дата добавления: 2014-11-25