Примеры решения задач 5 страница

Этот же результат можно получить из закона сохранения механической энергии:

mgh= ,

где h – высота, с которой скатывается тело, J=(1+c)mR² – собственный момент инерции тела, u_m,w_m – линейная скорость поступательного и угловая скорость вращательного движений тела при прохождении положения равновесия. Учитывая соотношение u_m =w_mR, выразим скорость поступательного движения тела при прохождении положения равновесия:

u_m= .

Для малых угловых смещений высота h геометрически связана с максимальным смещением центра инерции тела S_m и R-r соотношением

h= .

Максимальная скорость гармонических колебаний пропорциональна амплитуде:

u_m=wS_m.

Следовательно, частота гармонических колебаний равна

w= .

Качение без скольжения возможно, если

m³ ,

где a₀ - полярный угол, соответствующий максимальному отклонению от положения равновесия. Исследуйте самостоятельно эту проблему.

Задача 53. На гладкой горизонтальной поверхности находятся два тела, связанные легкой пружиной жесткостью к=95Н/м. Определите частоту колебаний системы, если масса тел m₁=0,86кг и m₂=0,34кг.

Решение. Тела находятся под действием упругой силы, пропорциональной величине деформации пружины:

(1)

(2)

где x=x₁ +x₂ – длина пружины, x₁ и x₂ – смещение тел относительно центра инерции системы, l₀ – длина недеформированной пружины.

Из уравнений (1) и (2) находим

где

Расстояние между телами изменяется по гармоническому закону с частотой

Задача 54. Однородный брусок положили на два вращающихся навстречу друг другу ролика (см. рисунок). Расстояние между осями роликов l=85см, коэффициент трения между бруском и роликами m=0,35. Как будет двигаться брусок?

Решение. Состояние бруска, находящегося под действием сил, указанных на рисунке, описывается системой уравнений:

(1)

(2)

(3)

где F₁=mN₁, F₂ =mN₂, m – масса бруска, x -– смещение центра инерции бруска от положения равновесия.

Из совокупности уравнений (1) – (3) следует, что движение бруска по оси ох описывается уравнением

.

Следовательно, брусок совершает гармонические колебания с угловой частотой

и периодом

Отметим, что частота и период колебаний не зависят от массы бруска. Как это объяснить?

Задача 55. Какое движение совершает небольшое тело, свалившееся в радиальную шахту, прорытую сквозь астероид. Астероид принять однородным шаром с плотностью r =6,0г/см³.

Решение. Эта абстрактная задача интересна тем, что позволяет выяснить особенности движения тел в гравитационном поле сферически симметричного тела и использовать их при решении других проблем движения тел в гравитационных полях.

Начало координат свяжем с геометрическим центром астероида. При этом ускорение свободного падения тела в шахте будет зависеть от расстояния до центра астероида. Найдем эту зависимость а(r).

Сила тяжести, действующая на тело в шахте, определяется только массой, ограниченной сферой радиусом r, m=(4/3)pr³r (почему?)

Поэтому

т.е. тело, упавшее в шахту, будет совершать гармоническое колебательное движение с угловой частотой

и периодом

Период гармонических колебаний тела в шахте не зависит от размера астероида и определяется только его плотностью.

Найдем иное соотношение для периода гармонических колебаний тела в шахте. Для этого воспользуемся выражением для плотности однородного астероида и ускорения свободного падения тел у поверхности астероида:

где m_a, R - масса и радиус астероида.

Период гармонических колебаний тела в шахте определяется радиусом астероида и ускорением падения тел у поверхности астероида:

Обратите внимание на аналогию с математическим маятником.

Расстояние тела от центра астероида и скорость изменяются по гармоническому закону:

r=Rcoswt,

u= - wRsinwt.

При прохождении центра скорость тела будет максимальной:

Но это, с другой стороны, первая космическая скорость для астероида.

Найдем период обращения спутника астероида, круговая орбита которого проходит вблизи его поверхности:

Удивительно, для двух разных движений в поле тяготения, обладающего свойством сферической симметрии, получается один и тот же результат! Случайно ли это?

Нельзя ли воспользоваться полученным результатом для решения иных задач? Например, для оценки времени падения Луны на Землю, если бы она вдруг потеряла свою орбитальную скорость в результате космической катастрофы. Подумайте над этим.

Задача 56. Небольшое тело начинает скользить по горизонтальной поверхности с начальной скоростью u₀=13м/с. Коэффициент трения скольжения зависит от пройденного пути по закону m=bS, где b=0,431/м. Определите путь, пройденный телом до остановки, и время торможения. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Проанализируем физическую ситуацию. Вначале воспользуемся методом анализа размерностей. Выделим характерные величины, определяющие процесс торможения: [u₀]=м/с – начальная скорость тела, [g]=м/с² – ускорение силы тяжести, [b]=1/м – коэффициент, характеризующий силу трения скольжения.

Из этих величин можно составить единственную комбинацию, которая имеет размерность длины:

Следовательно, тормозной путь пропорционален указанной комбинации характерных величин

Очевидно, для оценки времени торможения можно воспользоваться соотношением

Теперь рассмотрим проблему более детально. Тело тормозится под действием силы трения F_тр=-mN. В нашем случае N=mg, m=bS. Сила трения возрастает по линейному закону от пройденного пути и направлена в обратную сторону движения, т. е. выполняет роль квазиупругой силы:

F_тр= -mw²S,

где .

Откуда следует, что тело движется до остановки, подчиняясь гармоническому закону с круговой частотой w.

Динамически движение тела сводится к решению уравнения

с начальными условиями S(0)=0, u(0)=u_0.

Пройденный путь изменяется с течением времени по гармоническому закону

Положив sinwt=1, для тормозного пути и времени торможения получаем

Заметим, что тормозной путь можно также найти из энергетических соображений, воспользовавшись теоремой о кинетической энергии: DK=A_{тр .}

Задача 57. Круглое тело массой m(кг) лежит на горизонтальной поверхности. К оси тела прикреплена одним концом легкая пружина жесткостью К(Н/м), другой конец которой прикреплен к неподвижной стенке (см. рисунок). Тело сместили от положения равновесия на величину x₀(м) и отпустили в момент времени t=0. Определите период колебаний тела, если качение происходит без скольжения. Сопротивлением воздуха и трением качения пренебречь.

Решение. Рассмотрим динамическое решение задачи.

Под действием указанных на рисунке сил тело движется поступательно и вращается вокруг собственной оси в соответствии с основными уравнениями динамики:

(1)

(2)

где J_с=CmR² – момент инерции круглого тела относительно собственной оси вращения, проходящей через центр инерции (С – формпараметр круглого тела), m – масса тела, u_c – скорость поступательного движения центра инерции тела, w – угловая скорость вращения.

В отсутствие проскальзывания (u_c=wR) поступательное движение тела описывается уравнением

с начальными условиями x(0)=x₀, u(0)=0.

Поступательному движению соответствует гармоническое колебание

x=x₀coswt

с круговой частотой

и периодом колебаний

Качение без скольжения возможно, если коэффициент трения удовлетворяет условию

Обоснуйте это утверждение.

Вычислите период колебаний для цилиндра массой m=1,6кг, если k=125Н/м.

Задача 58. На горизонтальной поверхности с коэффициентом трения m=0,12 лежит брусок массой m=0,60кг, прикрепленный к стенке легкой пружиной жесткостью k=2,5Н/см. Брусок сместили так, что пружина растянулась на x₀ =9,5см, и затем отпустили. Определите число колебаний, которое совершит брусок до остановки. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Вначале проведем качественный анализ физической ситуации.

Если бы сила трения была равна нулю, то тело под действием упругой силы совершало бы гармоническое колебательное движение с угловой частотой и амплитудой x_{0 .}

Постоянная сила трения F_тр=mmg уменьшает амплитуду колебаний, не изменяя ее частоты. В конце концов тело остановится на расстоянии от положения равновесия (почему?).

Рассмотрим динамическое решение задачи.

Под действием указанных на рисунке сил тело движется поступательно в соответствии с основным законом динамики:

После известных преобразований проблема сводится к решению одномерного дифференциального уравнения

с начальными условиями x(0)=0, u(0)=0.

Поступательное движение тела происходит в соответствии с уравнением движения:

x=D+(x₀-D)coswt.

Скорость тела является функцией времени:

u=-w(x₀-D)sinwt.

Скорость тела равна нулю для моментов времени, удовлетворяющих условию

wt=np,

где n=0,1,2,…

Ближайший момент времени от начала движения, когда тело останавливается (n=1), равен t=T/2, где Т – период колебаний.

Таким образом, через полпериода смещение равно

x₁=D+(x₀-D)cosp=-x₀+2D.

Откуда видно, что амплитуда уменьшается на 2D через полпериода и на 4D за период. Общее изменение амплитуды за все время движения равно x₀-D.

Полное число колебаний до остановки, очевидно, равно

Из решения следует, что колебательное движение возможно, если величина коэффициента трения скольжения удовлетворяет условию

Задача 59. К легкой пружине жесткостью k=25Н/м подвешен шарик радиусом R=2,3см и массой m=120г. Шарик погружен в жидкость. В положении равновесия шарику сообщили начальную скорость u₀=1,4м/с в вертикальном направлении. Определите период затухающих колебаний шарика и вязкость жидкости, если логарифмический декремент затухания равен l=3,0.

Решение. На шарик действуют сила тяжести , выталкивающая сила Архимеда , упругая сила пружины ,сила вязкого трения и сила сопротивления . При небольших скоростях F_тр>>F_c,так как F_тр~u, а F_c~u².

Шарик совершает одномерное движение в вертикальном направлении в соответствии с динамическим уравнением

(1)

где F_тр=6phRu (закон Стокса), F_упр= -kx (закон Гука), x – деформация пружины.

Шарик будет совершать колебательное движение около положения равновесия x₀, определяемого равенством

kx₀=mg-F_A.

Введем смещение S=x-x₀ и комбинированные параметры с одинаковыми размерностями [b]=[w₀]=c^-1.

Окончательно задача сводится к решению уравнения

с начальными условиями S(0)=0, u(0)=u₀.

Это уравнение затухающих колебаний имеет решение для указанных начальных условий вида

где если выполнено условие w₀²>b ².

Декремент затухания определяется отношением амплитуд, разделенных промежутком времени, равным периоду

а логарифмический декремент затухания равен

l=lnd=bT=2pb/w.

Откуда после несложных преобразований находим расчетное соотношение для вязкости жидкости:

Из решения видно, что начальное значение амплитуды равно

Задача 60. Ось подвеса физического маятника движется под действием внешней силы в горизонтальном направлении по закону x(t)=x₀sinwt. Найти установившиеся вынужденные колебания маятника.

Решение. Задача состоит в нахождении установившихся вынужденных колебаний маятника, когда переходный процесс уже закончился. Очевидно, что вынужденные колебания будут происходить с частотой вынуждающей силы w, в то время как частота свободных колебаний маятника равна

где – приведенная длина физического маятника, J₀ – момент инерции физического маятника относительно оси колебаний, m – масса маятника, d – расстояние от оси вращения до центра инерции тела.

Основная идея решения заключается в том, чтобы представить вынужденные колебания данного маятника как свободные колебания некоторого другого условного маятника с приведенной длиной l:

Если 1) w<w ₀, то l>l ₀ , 2) w>w₀, то l<l₀.

В первом случае при малых колебаниях точки подвеса 0 согласно уравнению

x=x₀sinwt

точка А, соответствующая концу приведенной длины условного физического маятника, движется согласно уравнению

x^/=x₀^/sinwt.

Таким образом, вынужденное колебание происходит в той же фазе, что и движение точки подвеса 0, а амплитуду этого колебания x₀^/ можно легко найти из условия геометрического подобия:

Заметим, что при w®w₀ x₀^/®¥, т. е. наступает резонанс. Вблизи резонанса полученное решение неприменимо, так как мы исходим из предположения о малости колебаний и пренебрегаем сопротивлением, ибо только при учете затухания амплитуда в резонансе получается конечной.

Во втором случае (l<l₀), рассуждая аналогично предыдущему случаю, легко прийти к выводу, что движение точки А условного маятника происходит в противофазе с движением точки подвеса 0.

Приведем окончательный результат: вынужденное установившееся колебание физического маятника описывается уравнением

x^/=x₀^/sin(wt+j),

где

Этот же результат можно получить, решая формально динамическое уравнение вынужденных колебаний (убедитесь в этом)

x^//+w₀²x=x₀sinwt.

Задачи для самостоятельного решения
(Колебательное движение)

1. Ртуть объемом V=55см³ налита в изогнутую U-образную трубку сечением S=5,1см². Пренебрегая вязкостью, определите период малых колебаний ртути ( 0,46с ).

2. Определите период малых колебаний ареометра, которому сообщили небольшой толчок в вертикальном направлении. Масса ареометра m=50г, радиус его трубки r=3,0мм, плотность жидкости r=0,8г/см³. Вязкостью жидкости пренебречь (3,0 c ).

3. Доска длиной l=2,5м движется со скоростью u₀=3,2м/с по гладкой горизонтальной полуплоскости, переходящей в полуплоскость с коэффициентом трения m=0,25. Определите путь, пройденный передней кромкой доски за время ее движения по второй полуплоскости, и время торможения (3,3м; 1,9с).

4. Однородный шнур длиной l=2,0м движется по гладкой горизонтальной поверхности, которая плавно переходит в наклонную плоскость с углом наклона a=30⁰. Передний конец шнура остановился на высоте h=80см. Определите время подъема шнура и его начальную скорость (1,0с; 2,5м/с).

5. Лыжник съезжает без начальной скорости по склону холма по прямой, составляющей некоторый угол с горизонтом, и, проехав путь S₀=40м, останавливается. Условия движения лыжника таковы, что сила сопротивления, действующая на лыжника со стороны снега, пропорциональна пройденному пути к× S, где к=6,3Н/м. Определите максимальную скорость лыжника при спуске, если его масса m=70кг (6,0м/с).

6. Однородный стержень подвешен так, что его период малых колебаний имеет минимальное значение. Определите приведенную длину этого физического маятника, если длина стержня 48см (14см).

7. Вблизи поверхности Земли имеется полость, заполненная водой (подземное озеро). Оцените размеры этого озера, считая полость шаром радиусом r, если период малых колебаний физического маятника увеличивается в этом месте на 0,01%. Радиус и среднюю плотность Земли принять равными R=6400км, r=6,0г/см³ (r=1,5км).

8. Вблизи поверхности Земли находится рудное месторождение. Оцените объем месторождения, считая его однородным шаром плотностью 8,0г/см³, если период колебаний секундного физического маятника вблизи месторождения уменьшается до 0,998с. Ускорение свободного падения вблизи поверхности и среднюю плотность Земли принять равными 10м/с² и 6,0г/см³ (1,4×10⁶ км³).

9. Максимальная частота колебаний физического маятника равна 1,3Гц. Определите момент инерции маятника относительно оси, проходящей через ее центр инерции, если его масса равна 2,3кг (0,013кгм²).

10. Между двумя телами массами 1,0кг и 0,6кг зажата легкая пружина жесткостью 100Н/м. Длина пружины в недеформированном состояние равна 10см. При длине пружины 8,0см система тел приходит в движение. Определите скорости тел после того, как пружина распрямится, если вначале она была сжата до 5,0см (0,13м/с; 0,38м/с).

11. Небольшое тело начинает скользить по наклонной плоскости, составляющей угол 3 5⁰ с горизонтом. Коэффициент трения скольжения зависит от пройденного пути S согласно соотношению m=bS, где b=0,51 1/м. Определите путь, пройденный телом до остановки, и его максимальную скорость на этом пути (2,7м; 28м/с).

12. Горизонтальная подставка может совершать гармонические колебания с частотой 2,5Гц в вертикальном направлении. При какой минимальной амплитуде колебаний подставки монета, лежащая на подставке, отделяется от нее (4,0см).

13. Горизонтальная площадка совершает гармонические колебания в горизонтальном направлении с частотой 1,6Гц. При какой минимальной амплитуде колебаний тело, лежащее на площадке, будет смещаться относительно площадки, если коэффициент трения между телом и площадкой равен 0,35 (3,5см).

14. Амплитуда затухающих колебаний осциллятора за время t уменьшилась в 1,4 раза. Как за это время изменилась механическая энергии осциллятора? ( уменьшилась в 2 раза ).

15. Осциллятор совершает гармонические колебания согласно уравнению x(cм)=5,2sin(53t) под действием вынуждающей силы F(H)=10,2cos(53t). Определите коэффициент затухания осциллятора, если его масса равна 0,23кг (8,01/с).

16. Определите резонансную амплитуду осциллятора, совершающего установившиеся колебания под действием гармонической силы с амплитудой F₀=5,7H, если частота затухающих колебаний данного осциллятора w=1401/c и коэффициент сопротивления г=0,35кг/с (12см).

17. Амплитуды вынужденных гармонических колебаний осциллятора при частотах 801/с с 1201/с равны между собой. Определите частоту собственных колебаний осциллятора, если частота его затухающих колебаний равна 1061/с (1101/с).

18. Тело массой 0,12кг, подвешенное на невесомой пружине, совершает вынужденные колебания под действием гармонической силы частотой w=6,31/с и амплитудой F₀=12H. Определите среднюю за период механическую энергию осциллятора, если коэффициент упругости пружины равен 78Н/м (1,1Дж).

19. К невесомой пружине подвесили груз, и она растянулась на Dx=4,9см. Определите циклическую частоту затухающих колебаний груза, если ему сообщили небольшой импульс в вертикальном направлении. Логарифмический декремент затухания равен l=1,5 (141/c).

20. На горизонтальной поверхности лежит брусок массой m=0,48кг, соединенный легкой недеформированной пружиной со стеной. Брусок сместили так, что пружина растянулась на x₀=4,5см, и отпустили. Совершив 5 полных колебаний, брусок остановился. Определите коэффициент трения между бруском и поверхностью (0,2).

21. Тело, упавшее в радиальную шахту астероида, вернулось обратно через 90мин. Оцените плотность вещества астероида (4,8г/см³).

22. Шар лежит на горизонтальной поверхности. К оси шара прикреплена одним концом легкая пружина, другой конец которой прикреплен к стенке. Шар сместили от положения равновесия на x₀=5,7см и отпустили. Оцените, при каких значениях коэффициента трения шар будет кататься без скольжения, совершая гармонические колебания с угловой частотой n=8,31/c (m³0,16).

23. По внутренней поверхности цилиндра радиусом R=95см катается круглое тело без скольжения, совершая гармонические колебания с угловой частотой n=6,11/c. Определите формпараметр круглого тела, если его радиус r=5,0 см (0,7).

24. На гладкой горизонтальной поверхности находятся два тела с массами 0,5кг и 2,0кг, связанные легкой пружиной. Определите жесткость пружины, если система грузов колеблется с частотой 5,0Гц (0,39кН/м).

25. Четыре невесомых стержня длиной l=18см каждый соединены шарнирно и образуют квадрат (см. рисунок). Шарниры Д и В соединены легкой пружиной, которая в недеформированном состоянии имеет длину l₀ =32см. Определите частоту малых вертикальных колебаний груза. Сопротивлением воздуха и трением в шарнирах пренебречь (1,1Гц).

Дата добавления: 2014-11-25