Тема 6. Комплексные числа

Пример

Пусть преобразование j имеет матрицу

.

Найти собственные векторы матрицы.

Решение. Сначала найдем собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение имеет вид

,

или . Корнями этого уравнения являются l₁ = -1, =3. Обозначаем через координаты собственного вектора .

Тогда уравнение при l = l₁ = -1 имеет вид

,

или в раскрытом виде . Полагая =a, найдем отсюда = -3a. Следовательно, собственные векторы, отвечающие корню l_1, имеют вид , где a - любое число, отличное от нуля.

Комплексными называются числа вида z=x+iy, где x и y-действительные числа, а i² =-1. Число x называется действительной частью комплексного числа z, а число y – коэффициент при i – мнимой частью. Число =x-iy называется сопряженным к числу z=x+iy. У сопряженных чисел равны действительные части, а мнимые отличаются только знаком. Числу z можно сопоставить вектор, направленный из начала O в точку z. Модуль комплексного числа z вычисляется по формуле

.

Угол образованный радиусом-вектором Oz (рис.1) с положительным направлением действительной оси Оx, называется аргументом числа z и обозначается Argz.

Любое комплексное число z можно представить в алгебраической форме z = x + iy и в тригонометрической форме z= r (cosj +isinj). Здесь , j=Аrgz -, причем различные значения аргумента отличаются на 2 k , где к - целое число. Под главным значением аргумента понимается значение j, удовлетворяющее условию - <j< . Таким образом Аrgz = аrgz+2 к.

Комплексные числа z еще можно представить в показательной форме z =rе^ij, где r и j - то, что и в тригонометрической форме.

y

z

r

o x

Рис.2

Дата добавления: 2014-11-09