Скорости и ускорения точек вращающегося тела. Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения Az

Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения A_z. При вращении тела точка М будет описывать окружность радиусом h, плоскость которой перпендикулярна к оси вращения. Если за время dt происходит элементарный поворот тела на угол dφ, то точка М при этом совершает вдоль своей траектории элементарное перемещение , тогда скорость точки будет равна:

или . (9.4)

Таким образом, скорость точки вращающегося твердого тела равна произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения. Направлена скорость по касательной к описываемой точке М окружности.

Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами:

; .

В нашем случае . Подставляя значение V из формулы (9.4), получим:

; .

После преобразований получим:

; . (9.5)

Рассмотрим сечение твердого тела: точка М совершает движение по окружности (рис. 9.4) (движение ускоренное).

Рис. 9.4

Ускорение точки М будет равно:

,

или .

Угол между ускорением точки М и радиусом, проведенным в эту точку, составляет μ, который можно найти по формуле:

Пример 1:

По заданному уравнению движения груза 3, , определить его скорость и ускорение, а также скорость и ускорение точки А механизма в момент времени t = t₁.

Рис. 9.5

Решение:

5. Определим скорость и ускорение груза 3:

,

при t = 2c: (м/с)

при t = 2c: (м/с²).

6. Определим скорость точки А:

Скорость точки А равна скорости V₃, так как нить нерастяжимая: ; где ω₂ – угловая скорость второй системы колес, отсюда .

Точка С принадлежит одновременно большому колесу первой системы и малому колесу первой системы.

Тогда .

С другой стороны, ; отсюда .

Точка А принадлежит большему колесу первой системы:

.

Подставляя численные значения, получим:

(м/с),

м/с.

Определим ускорение точки А. Так как точка А вращается по окружности, то

,

;

,

где – угловое ускорение первой системы колес.

Тогда ;

т.е. .

Подставляя численные значения, получим:

м/с²

м/с^2.

Так как , то м/с².

м/с².

Ответ: В момент t = 1c скорость груза V₃ = 52 м/с; ускорение груза а ₃ = 16м/с², скорость точки А: V_A = 728 м/с; ускорение точки А: а _А = 424 м/с².

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое поступательное движение твердого тела?

2. Какие характеристики определяют поступательное движение твердого тела?

3. Какие характеристики определяют вращательное движение твердого тела?

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 13.1 – 13.20, 14.1 – 14.9. [2].

Литература: [1], [3], [4].

Дата добавления: 2014-11-26