Операции над матрицами

1. Умножение матрицы на число. Произведение матрицы А и числа равно матрице В той же размерности, что и А, каждый элемент которой получается умножением соответствующего элемента матрицы А на , т.е. ; .

Например,

Следствие: общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы:

При умножении матрицы на нуль получается нуль-матрица.

1. Сложение матриц. Складывать можно только матрицы одинаковой размерности, для матриц разных размерностей операция не определена.

Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется матрица С=А+В размера , элементы которой , ;

,т.е. матрицы складываются поэлементно.

Пример:

1. Вычитание матриц: Определяется через предыдущие операции:

А-В=А+(-1) В

1. Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц называется такая матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов ой строки матрицы А на соответствующие элементы го столбца матрицы В:

;

(Здесь означает суммирование по всем значениям номеров s, изменяющихся от 1 до к включительно).

Пример: вычислить произведение матриц АВ, где

Прежде всего убедимся, что такая операция возможна: и , число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В; далее, размерность результирующей матрицы

Вычислим элементы матрицы- произведения:

Свойства операции над матрицами:

1) А+В = В+А

2) (А+В)+С= А+(В+С)

3) (А+В)=

4) А (В+С)=АВ+АС

5) (А+В)С=АС+ВС

6)

7) А(BC)=(AB)C

Эти свойства аналогичны свойствам операций над числами. Однако некоторые свойства отличаются:

- если произведение АВ существует, то ВА может не существовать, например, матрица и

- если даже АВ и ВА существую, то они могут быть матрицами разных размеров;

Например: ,

таким образом, АВ ВА

- даже если АВ и ВА существуют и являются матрицами одинакового размера, то, вообще говоря, АВ ВА (произведение матриц не коммутативно); например:

Частный случай: произведение любой квадратной матрицы А на единичную Е того же порядка коммутативно, т.е. АЕ=ЕА=А;

- произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице:

1. Возведение в степень. Операция определена только для квадратных матриц:

(m сомножителей);

здесь m-целое.

По определению полагают, что ;

;

1. Транспонирование матрицы. Это переход от матрицы А к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица - транспонированная относительно А.

Например:

;

Свойства операции транспонирования:

1) ; 2) 3) 4)

Обратная матрица

Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении матрицы на А как слева, так и справа получается единичная матрица:

(5)

Только квадратная матрица может иметь обратную, и обратная матрица имеет тот же размер, что и исходная. Для существования обратной матрицы необходимо, чтобы . В этом случае матрица А будет невырожденной. В противном случае матрица А называется вырожденной.

Теорема. Обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Вычисляется обратная матрица по формуле:

, (6)

где - т.н. присоединенная матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения элементов матрицы , транспонированной к матрице А.

Пример: Найти обратную матрицу к матрице:

2 2 3

А= 1 -1 0

-1 2 1

Решение. Получим присоединенную матрицу. Для этого транспортируем А и найдем для нее алгебраические дополнения:

2 1 -1

-1 2 2 2

2 -1 2; 0 1 = -1; 3 1 =4;

3 0 1

2 -1 1 -1

3 0 =3; 0 1 = -1;

2 -1 2 1

3 1 =5; 3 0 =3;

1 -1 2 -1

-1 2 =1; 2 2 = -6;

2 2

1 -1 = -4.

Дата добавления: 2014-11-26