Лекция № 3-4

Отсюда

-1 4 3

-1 5 3

1 -6 -4

Находим определитель матрицы А:

Отсюда обратная матрица:

-1 4 3 1 -4 -3

1 1 -5 -3

-1 5 3 = -1 6 4

-1 1 -6 -4

Ранг матрицы

В матрице вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно получить различные квадратные подматрицы порядка . Определители таких подматриц называются минорами -го порядка матрицы А. Например, из матрицы можно получить миноры 1, 2 и 3 порядков.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначается ранг или . При этом очевидно, что кроме того, тогда и только тогда, когда матрица А нулевая (нуль-матрица).

Следующие преобразования матрицы называются элементарными.:

1) Отбрасывание нулевой строки (столбца).

2) Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.

3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

5) Транспонирование матрицы.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях.

Для рангов матриц справедливы соотношения:

1)

2)

3) ;

4) ;

5) если А и В – квадратные матрицы и

Обозначим строки матрицы как векторы:

… .

Строка называется линейной комбинацией строк , если она равна выражению: , где -числа.

Строки матрицы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:

где 0=(0,0,…,0).

Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных.

Если линейная комбинация строк равна нулевой строке тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю, то строки называются линейно независимыми.

Например, в матрице строки линейно зависимы, поскольку , т.е. , где . В этом случае ,

В качестве примера линейно независимой системы векторов можно привести строки матрицы где нуль-строку можно получить только для нулевых коэффициентов, т.е. .

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк и столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).

Вопросы для самоконтроля:

1.Что такое матрица?

2.Какие операции можно производить с матрицами?

3.Как найти обратную матрицу?

Определители квадратных матриц (детерминанты) и их свойства

План:

Дата добавления: 2014-11-26