Теория графов в исследования управления

Теория графов в качестве теоретической дисциплины может рассматриваться как раздел дискретной математики, исследующий свойства конечных множеств (бесконечные графы рассматривать мы не будем) с заданными отношениями между их элементами.

Как прикладная дисциплина теория графов позволяет описывать и исследовать многие технические, экономические, биологические и социальные системы. Наибольшее применение она нашла в проблемах организации выполнения работ.

Теория графов оперирует следующими понятиями:

Графом – называют законченную логически последовательную совокупность символов. Граф – система, которая интуитивно может быть рассмотрена как множество кружков и множество соединяющих их линий (геометрический способ задания графа – см. рисунок 1). Кружки называются вершинами графа, линии со стрелками – дугами, без стрелок – ребрами. Граф, в котором направление линий не выделяется (все линии являются ребрами), называется неориентированным; граф, в котором направление линий принципиально (линии являются дугами) называется ориентированным.

Перечисленные элементы обозначаются графическими символами (рисунок 3.10)

Подграфом называется часть графа, образованная подмножеством вершин вместе со всеми ребрами (дугами), соединяющими вершины из этого множества. Если из графа удалить часть ребер (дуг), то получим частичный граф.

Две вершины называются смежными, если они соединены ребром (дугой). Смежные вершины называются граничными вершинами соответствующего ребра (дуги), а это ребро (дуга) – инцидентным соответствующим вершинам.

Рисунок 3.10 – Обозначения элементов различных графов

Путем называется последовательность дуг (в ориентированном графе), такая, что конец одной дуги является началом другой дуги. Простой путь – путь, в котором ни одна дуга не встречается дважды. Элементарный путь – путь, в котором ни одна вершина не встречается дважды. Контур – путь, у которого конечная вершина совпадает с начальной вершиной. Длиной пути (контура) называется число дуг пути (или сумма длин его дуг, если последние заданы).

Граф, для которого из (i, j) € V следует (j, i) € V называется симметрическим. Если из (i, j) € V следует, что (j, i) ₡ V, то соответствующий граф называется антисимметрическим. Пример графа представлен на рисунке 3.11.

Рисунок 3.11 – Пример графа

Цепью называется множество ребер (в неориентированном графе), которые можно расположить так, что конец (в этом расположении) одного ребра является началом другого. Другое определение: цепь – последовательность смежных вершин. Замкнутая цепь называется циклом.

Если любые две вершины графа можно соединить цепью, то граф называется связным. Если граф не является связным, то его можно разбить на связные подграфы, называемые компонентами.

Приведем ряд примеров приложений теории графов.

1. «Транспортные» задачи, в которых вершинами графа являются пункты, а ребрами – дороги (автомобильные, железные и др.) и/или другие транспортные (например, авиационные) маршруты.

Другой пример – сети снабжения (энергоснабжения, газоснабжения, снабжения товарами и т.д.), в которых вершинами являются пункты производства и потребления, а ребрами – возможные маршруты перемещения (линии электропередач, газопроводы, дороги и т.д.). Соответствующий класс задач оптимизации потоков грузов, размещения пунктов производства и потребления и т.д., иногда называется задачами обеспечения или задачами о размещении. Их подклассом являются задачи о грузоперевозках [7, 12].

2. «Технологические задачи», в которых вершины отражают производственные элементы (заводы, цеха, станки и т.д.), а дуги – потоки сырья, материалов и продукции между ними, заключаются в определении оптимальной загрузки производственных элементов и обеспечивающих эту загрузку потоков [7, 12].

3. Обменные схемы, являющиеся моделями таких явлений как бартер, взаимозачеты и т.д. Вершины графа при этом описывают участников обменной схемы (цепочки), а дуги – потоки материальных и финансовых ресурсов между ними. Задача заключается в определении цепочки обменов, оптимальной с точки зрения, например, организатора обмена и согласованной с интересами участников цепочки и существующими ограничениями [6, 9, 17].

4. Управление проектами. С точки зрения теории графов проект – совокупность операций и зависимостей между ними (сетевой график – см. рисунок 3.11). Хрестоматийным примером является проект строительства некоторого объекта. Совокупность моделей и методов, использующих язык и результаты теории графов и ориентированных на решение задач управления проектами, получила название сетевого планирования и управления (СПУ). В рамках СПУ решаются задачи определения последовательности выполнения операций и распределения ресурсов между ними, оптимальных с точки зрения тех или иных критериев (времени выполнения проекта, затрат, риска и др.).

5. Модели коллективов и групп, используемые в социологии, основываются на представлении людей или их групп в виде вершин, а отношений между ними (например, отношений знакомства, доверия, симпатии и т.д.) – в виде ребер или дуг. В рамках подобного описания решаются задачи исследования структуры социальных групп, их сравнения, определения агрегированных показателей, отражающих степень напряженности, согласованности взаимодействия, и др.

6. Модели организационных структур, в которых вершинами являются элементы организационной системы, а ребрами или дугами – связи (информационные, управляющие, технологические и др.) между ними [13, 18].

7. При исследовании систем управления это могут быть маршруты документов, иной информации, что будет рассмотрено ниже.

Достоинство теории графов заключается в её наглядности.

Дата добавления: 2014-11-26