Плоскопараллельное движение твердого тела

Математический маятник

Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на нерастяжимой нити (рис. 11.3).

Рис. 11.3

Аналогично, как и для физического маятника, период колебания равен:

.

Так как , то .

, (11.5)

При условии, что , получим:

; – приведенная длина физического маятника.

Рассмотрим плоскопараллельное движение тела (рис. 11.4).

Рис. 11.4

По теореме о движении центра масс:

, или

; ; – это дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения тела.

, (11.6)

Задача 11.1

Барабан радиусом R, весом Р имеет выточку (как у катушки) радиусом . К концам, намотанных на барабан нитей, приложены постоянные силы и , направление которых определяется углом ; кроме сил на барабан действует пара с моментом М; когда направление момента противоположна показанному на рисунке. При движении, начинающегося из состояния покоя, барабан катится без скольжения по шероховатой наклонной плоскости с углом наклона так, как показано на рис. 11.5. Пренебрегая сопротивлением качения, определить закон движения центра масс С барабана, т.е. и наименьшее значение коэффициента трения о плоскость, при котором возможно качение без скольжения. Барабан рассматривать как сплошной однородный цилиндр.

Дано: ; ; ; ; .

Решение

Барабан совершает плоское движение под действием сил , , , и момента . Так как направление силы заранее неизвестно, выбираем его произвольно. Проводим оси О_ху и составляем дифференциальные уравнения плоского движения.

Рис. 11.5

; , (1)

; , (2)

;

За положительное направление для моментов принято направление по ходу часовой стрелки.

1. Определим .

Так как и ;

; , или .

, (3)

Делим обе части уравнения на R:

.

Сложим почленно (1) и (3), исключим из них :

, получим

,

т.е.: , так как , то , или .

Интегрируя это дифференциальное уравнение, получим:

; .

Начальные условия: .

После подстановки, получим: , тогда .

Определим . Так как и, согласно (2) , отсюда, учитывая, что :

, или

.

По уравнению (1), получим:

.

Отсюда .

Так как , то:

.

Тогда , отсюда , следовательно .

Ответ: уравнение движения центра масс барабана ;

наименьший коэффициент трения .

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое физический маятник и уравнение его движения?

2. Что такое математический маятник и уравнение его движения?

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 39.1 – 39.23 [3].

Литература: [1] – [5].

Дата добавления: 2014-11-26